3獨協医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

ベクトルの内積で直角条件・垂心条件・円周条件を式にし、(2)は内積を保つ直交座標に置き換えて距離、面積、外接円半径を求める。

(1) $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ より
$$|\overrightarrow{BC}|^2=|\vec c|^2+|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec c=16+36-12=40,$$
したがって $|\overrightarrow{BC}|=2\sqrt{10}$ である。

$D$ は $BC$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{AD}=\vec b+t(\vec c-\vec b)$ と表せる。$D$ は直径 $AB$ の円周上にあるから $\angle ADB=90^\circ$、よって $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{DB}=0$ である。$\overrightarrow{DB}=t(\vec b-\vec c)$ だから、内分点の場合には
$$\{\vec b+t(\vec c-\vec b)\}\cdot(\vec c-\vec b)=0.$$
ここで $\vec b\cdot(\vec c-\vec b)=6-36=-30$、$|\vec c-\vec b|^2=40$ より $-30+40t=0$、すなわち $t=\frac34$。したがって
$$\overrightarrow{AD}=\frac14\vec b+\frac34\vec c.$$

垂心 $H$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{AH}=x\vec b+y\vec c$ とおく。$BH\perp AC$、$CH\perp AB$ より
$$(x\vec b+y\vec c-\vec b)\cdot\vec c=0,\qquad (x\vec b+y\vec c-\vec c)\cdot\vec b=0,$$
したがって $6x+16y=6$、$36x+6y=6$。これを解くと $x=\frac19,\ y=\frac13$ なので
$$\overrightarrow{AH}=\frac19\vec b+\frac13\vec c.$$

(2) 面積と辺の長さを求めるため、直交座標を用いる。$A=(0,0), B=(6,0)$ とし、$|AC|=4$、$\vec b\cdot\vec c=6$ から $C=(1,\sqrt{15})$ と置ける（上下を反転しても円の面積は変わらない）。(1)の位置ベクトルから
$$D=\left(\frac94,\frac{3\sqrt{15}}4\right),\quad E=\left(\frac38,\frac{3\sqrt{15}}8\right),\quad H=\left(1,\frac{\sqrt{15}}3\right).$$
実際、$E=\lambda C$ とおいて直径円の条件 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{EB}=0$ を使うと $\lambda(6-16\lambda)=0$ となり、$E\ne A$ より $\lambda=\frac38$ である。各点の距離を計算すると
$$DE=\frac{3\sqrt{10}}4,\qquad EH=\frac{\sqrt{15}}6,\qquad HD=\frac{5\sqrt6}6.$$
$\angle EDH=\theta$ とする。余弦定理より
$$\cos\theta=\frac{DE^2+DH^2-EH^2}{2\,DE\,DH}=\frac{\sqrt{15}}4,$$
よって $\sin\theta=\frac14$（$D,E,H$ は一直線上でないので正の値をとる）。三角形 $DEH$ の面積を $K$ とすると
$$K=\frac12 DE\cdot DH\sin\theta=\frac{5\sqrt{15}}{32}.$$
その外接円の半径を $R$ とする。辺 $EH$ に対する円周角を $\phi=\angle EDH$ とすれば、弦と半径でできる二等辺三角形を二等分することで $EH=2R\sin\phi$ を得る。また $K=\frac12 DE\cdot DH\sin\phi$ だから、$\sin\phi=2K/(DE\cdot DH)$ を代入して
$$R=\frac{DE\cdot DH\cdot EH}{4K}=\frac{\sqrt{15}}3.$$
したがって円の面積は $\pi R^2=\frac53\pi$ である。

(3) $\overrightarrow{AP}=u\vec b+v\vec c$ とおく。直径 $AB$ の円上にある条件と内積の条件から
$$|\overrightarrow{AP}|^2=\overrightarrow{AP}\cdot\vec b=\frac{27}{2},\qquad 36u+6v=\frac{27}{2},$$
すなわち $6u+v=\frac94$。これを $|u\vec b+v\vec c|^2=36u^2+12uv+16v^2$ に代入すると
$$|\overrightarrow{AP}|^2=\frac{81}{16}+15v^2=\frac{27}{2},$$
よって $v=\pm\frac34$。$v=\frac34$ のとき $u=\frac14$ となり、これは (1) で求めた点 $D$ である。座標では $P$ の $y$ 座標は $v\sqrt{15}$ である。$D$ の $y$ 座標は正なので、$D$ を含まない方の弧は $y<0$ 側にあり、$v=-\frac34$ を選ぶ。このとき $u=\frac12$ である。したがって
$$\overrightarrow{AP}=\frac12\vec b-\frac34\vec c.$$