3鹿児島大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1)

楕円の中心は $\left(\dfrac{a}{1-a},\,0\right)$ であり、横方向と縦方向の半径はそれぞれ
$$c=\dfrac{a}{1-a},\qquad b=\sqrt{\dfrac{a^{2}(1+a)}{1-a}}=a\sqrt{\dfrac{1+a}{1-a}}$$
である。したがって、楕円の上半分の方程式は
$$y=b\sqrt{1-\left(\dfrac{x-c}{c}\right)^{2}}\qquad(0\leqq x\leqq 2c)$$
となる。$u=\dfrac{x-c}{c}$ と置換すると、積分範囲は $-1\leqq u\leqq 1$ だから、
$$S_{1}(a)=2\displaystyle\int_{0}^{2c}b\sqrt{1-\left(\dfrac{x-c}{c}\right)^{2}}\,dx=2bc\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-u^{2}}\,du=2bc\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi bc.$$
ここで積分は半径 1 の上半円の面積である。よって
$$S_{1}(a)=\pi\dfrac{a}{1-a}\cdot a\sqrt{\dfrac{1+a}{1-a}}=\dfrac{\pi a^{2}\sqrt{1+a}}{(1-a)^{3/2}}.$$

(2)

$\mathrm{P}=(a,\,a+a^{2})$ とおく。$a-\dfrac{a}{1-a}=-\dfrac{a^{2}}{1-a}$ より、
$$\dfrac{\left(a-\dfrac{a}{1-a}\right)^{2}}{\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^{2}}+\dfrac{(a+a^{2})^{2}}{\dfrac{a^{2}(1+a)}{1-a}}=a^{2}+(1-a^{2})=1$$
となるので、$\mathrm{P}$ は $C_{a}$ 上にある。曲線の式を $x$ で微分すると
$$\dfrac{2\left(x-\dfrac{a}{1-a}\right)}{\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^{2}}+\dfrac{2y}{\dfrac{a^{2}(1+a)}{1-a}}\dfrac{dy}{dx}=0.$$
これに $\mathrm{P}$ を代入すると
$$-2(1-a)+\dfrac{2(1-a)}{a}\dfrac{dy}{dx}=0.$$
よって、$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{\mathrm{P}}=a$ である。
したがって、$\mathrm{P}$ における接線は
$$y-(a+a^{2})=a(x-a),$$
すなわち $l_{a}:\ y=ax+a$ である。

(3)

直線 $l_{a}$ は $x$ 軸と $(-1,\,0)$ で交わる。$c=\dfrac{a}{1-a}$ とすると、直線 $x=c$ と $l_{a}$ の交点は
$$(c,\,ac+a)=(c,\,c)$$
であり、同じ直線と $x$ 軸との交点は $(c,\,0)$ である。よって三角形の底辺の長さは $c+1=\dfrac{1}{1-a}$、高さは $c=\dfrac{a}{1-a}$ だから、
$$S_{2}(a)=\dfrac{1}{2}(c+1)c=\dfrac{a}{2(1-a)^{2}}.$$
したがって
$$S(a)=\dfrac{S_{2}(a)}{S_{1}(a)}=\dfrac{1}{2\pi a\sqrt{(1-a)(1+a)}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{a^{2}(1-a^{2})}}.$$
ここで $t=a^{2}$ とおくと $0<t<1$ であり、
$$a^{2}(1-a^{2})=t(1-t)=\dfrac{1}{4}-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\leqq\dfrac{1}{4}.$$
等号は $t=\dfrac{1}{2}$、すなわち $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときに成立する。この値は範囲 $0<a<1$ に含まれるので、
$$\min_{0<a<1}S(a)=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1/4}}=\dfrac{1}{\pi}$$
である。