1福井大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$z_1=1+\sqrt3\,i=2e^{i\pi/3}$ なので、漸化式から
$$z_n=2^{\,2^{n-1}}e^{i\,2^{n-1}\pi/3}.$$

(1) $z_2=-2+2\sqrt3\,i$、$z_3=-8-8\sqrt3\,i$ である。よって
$$[Oz_2z_3] =\frac12\left|(-2)(-8\sqrt3)-(2\sqrt3)(-8)\right| =16\sqrt3.$$

(2) 絶対値は $a_1=2,\ a_{n+1}=a_n^2$ を満たすため、
$$a_n=2^{\,2^{n-1}}.$$

(3) $n\geqq2$ の偏角は、偶数 $n$ では $2\pi/3$、奇数 $n$ では $4\pi/3$（いずれも $2\pi$ を法として）である。したがって偶数番の10点は一つの原点通過直線上、奇数番 $3,5,\dots,19$ の9点は別の原点通過直線上にある。

$z_1$ を選ばないとき、同一直線上にある三点の個数は
$${}_{10}\mathrm{C}_{3}+{}_{9}\mathrm{C}_{3}=120+84.$$
$z_1$ を選ぶとき、残る二点が奇数番の9点から選ばれる場合は同一直線上となり、その個数は ${}_{9}\mathrm{C}_{2}=36$。一方、偶数番の点を含む場合は同一直線上にない。特に、偏角 $2\pi/3$ の点 $Q=(-r/2,\sqrt3r/2)$ と偏角 $4\pi/3$ の点 $R=(-s/2,-\sqrt3s/2)$（$r,s>0$）について、2つのベクトルの各成分をそれぞれ $Q-z_1=(u_x,u_y),\ R-z_1=(v_x,v_y)$ と表すと
$$u_xv_y-u_yv_x=\frac{\sqrt3}{2}r(s+2)\ne0.$$
よって有利な選び方は $240$ 通り、全体は ${}_{20}\mathrm{C}_{3}=1140$ 通りなので、
$$\frac{240}{1140}=\frac4{19}.$$