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弘前大学／2025年度

8弘前大学 2025年 数学 第8問解答・解説

積分法

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象理工（数物科学科）医学科は解かない

1問題

弘前大学2025年度第8問
座標平面において、0≦x≦π0\leqq x\leqq\pi の範囲で 2 曲線
y=2sin⁡x,y=∣sin⁡2x∣ y=2\sin x,\qquad y=|\sin2x|
で囲まれた部分を DD とする。次の問いに答えよ。

(1) DD の面積を求めよ。

(2) DD を xx 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：弘前大学 2025年度 数学 第8問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    22
  • (2)
    32π2\dfrac{3}{2}\pi^{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

∣sin⁡2x∣=2sin⁡x∣cos⁡x∣≦2sin⁡x|\sin2x|=2\sin x|\cos x|\leqq2\sin x なので、0≦x≦π0\leqq x\leqq\pi でつねに y=2sin⁡xy=2\sin x が上にある。回転体は 2 つの曲線の間の部分を回すので、外側の半径 2sin⁡x2\sin x、内側の半径 ∣sin⁡2x∣|\sin2x| の差で体積を求める。

解答

0≦x≦π0\leqq x\leqq\pi では sin⁡x≧0\sin x\geqq0 で、∣sin⁡2x∣=2sin⁡x∣cos⁡x∣≦2sin⁡x|\sin2x|=2\sin x|\cos x|\leqq2\sin x（等号は x=0, πx=0,\,\pi のとき）。

(1)

∫0π2sin⁡x dx−∫0π∣sin⁡2x∣ dx=4−2∫0π2sin⁡2x dx=4−2=2. \int_{0}^{\pi}2\sin x\,dx-\int_{0}^{\pi}|\sin2x|\,dx=4-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin2x\,dx=4-2=2.

(2)

V=π∫0π(4sin⁡2x−sin⁡22x) dx=π(4⋅π2−π2)=32π2 V=\pi\int_{0}^{\pi}(4\sin^{2}x-\sin^{2}2x)\,dx=\pi\left(4\cdot\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\pi^{2}
（∫0πsin⁡2x dx=∫0πsin⁡22x dx=π2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}2x\,dx=\dfrac{\pi}{2}）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 定積分と面積
  • 回転体の体積
  • 半角の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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