II順天堂大学 2023年 数学 第II問解答・解説

$\boxed{\phantom{0}}$ に適する解答をマークせよ。ただし、同一問題で同じ記号の $\boxed{\phantom{0}}$ がある場合は同一の値が入る。

(a) 点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において、2 点 $\mathrm{A}\left(\sqrt{3},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\mathrm{B}\left(\sqrt{3},\,-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ をとる。$\triangle\mathrm{OAB}$ は 1 辺の長さが $\boxed{\text{ア}}$ の正三角形である。

$t$ を実数として、$0\leqq t\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき平面 $z=t$ と辺 $\mathrm{OA}$ は点 $\left(\boxed{\text{イ}}\,t,\,\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}t,\,t\right)$ で交わり、平面 $z=t$ と辺 $\mathrm{AB}$ は点 $\left(\sqrt{\boxed{\text{オ}}},\,\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}t,\,t\right)$ で交わる。

$\triangle\mathrm{OAB}$ を $z$ 軸の周りに 1 回転して得られる立体を $V$ とすると、立体 $V$ と平面 $z=t$ は $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき交わりを持ち、そのときの立体 $V$ の平面 $z=t$ による切り口は半径 $\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}t$ と $\sqrt{\boxed{\text{サ}}+\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}t^{2}}$ の同心円で囲まれた部分となる。したがって、切り口の面積は $\left(\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}}\,t^{2}\right)\pi$ となり、$V$ の体積は $\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\,\pi$ となることがわかる。

(b) 3 点 $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通る円 $C$ は中心が点 $\left(\dfrac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}},\,\boxed{\text{ナ}},\,\boxed{\text{ニ}}\right)$、半径が $\dfrac{\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}$ の円であり、$z=\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}\,y$ で表される平面上にある。円 $C$ と平面 $z=t$ は $\boxed{\text{ヒフ}}\leqq t\leqq \boxed{\text{ヘ}}$ のとき交点を持ち、その交点の座標は
$$\left(\dfrac{\boxed{\text{ホ}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}{\boxed{\text{ミ}}}\left(\boxed{\text{ム}}\pm\sqrt{\boxed{\text{メ}}-t^{2}}\right),\,\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{モ}}}}{\boxed{\text{ヤ}}}t,\,t\right)$$
と表される。したがって、円 $C$ とその内部からなる円板を $z$ 軸の周りに 1 回転して得られる立体の体積は $\dfrac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}\pi^{2}$ である。