5東京大学 2022年 数学 第5問解答・解説

線分 AB 上の点は、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})$ より $(t,\,0,\,2-t)$（$0\leqq t\leqq1$）と表せる。回転後、曲面 S 上の点 P の xy 平面への射影の原点からの距離を $r$ とすれば、$0\leqq r\leqq1$、P の高さは $2-r$ である。

P の水平射影を $\vec{a}$、そこから Q への水平ベクトルを $\vec{b}$ とする。Q は xy 平面上にあり PQ=2 を満たすので
$$|\vec{a}|=r,\qquad |\vec{b}|=\sqrt{2^{2}-(2-r)^{2}}=\sqrt{4r-r^{2}}.$$
これを $\rho(r)$ とおく。M の水平射影は $\vec{a}+\dfrac{\vec{b}}{2}$ である。$\vec{a}$ の向きと $\vec{b}$ の向きはそれぞれ自由に動くから、この和の長さは $\left|r-\dfrac{\rho}{2}\right|$ から $r+\dfrac{\rho}{2}$ まで取り、全方位にわたる。したがって、高さを固定した水平断面は内半径 $\left|r-\dfrac{\rho}{2}\right|$、外半径 $r+\dfrac{\rho}{2}$ の円環（内半径 0 の場合は円盤）であり、その面積は
$$A(r)=\pi\left\{\left(r+\dfrac{\rho}{2}\right)^{2}-\left(r-\dfrac{\rho}{2}\right)^{2}\right\}=2\pi r\rho.$$
中点の高さは $z_{M}=\dfrac{2-r}{2}=1-\dfrac{r}{2}$ なので、高さの変化の割合の絶対値は $\dfrac{1}{2}$ である。よって K の体積を $V$ とすると
$$\begin{aligned} V&=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}A(r)\,dr =\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{4r-r^{2}}\,dr\\ &=\pi\int_{1}^{2}(2-u)\sqrt{4-u^{2}}\,du\qquad(u=2-r)\\ &=\pi\left[2\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\sqrt{3}\right] =\dfrac{4\pi^{2}}{3}-2\sqrt{3}\pi. \end{aligned}$$$$V=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}A(r)dr=\pi {\int }_0^{1}r\sqrt{4r-r^2}dr$$$$=\pi {\int }_1^2(2-u)\sqrt{4-u^2}du(u=2-r)$$$$=\pi \left[2\left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\sqrt{3}\right]=\frac{4{\pi }^2}{3}-2\sqrt{3}\pi .$$