3広島大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $\triangle$ OAD で OA=OD=1,\ $\angle$ AOD=3$\theta$ である。\ 0<3$\theta$<$\pi$ より
$$S(\theta)=\frac{1}{2}\sin 3\theta.$$
したがって、$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ を用いると
$$\lim_{\theta\to+0}\frac{S(\theta)}{\theta} =\frac{3}{2}\lim_{\theta\to+0}\frac{\sin 3\theta}{3\theta} =\frac{3}{2}.$$

(2) 円の中心角がそれぞれ $\angle AOB=\angle BOC=\theta$ なので、二等辺三角形 $OAB,OBC$ を二等分して
$$AB=BC=2\sin\frac{\theta}{2}.$$
また、$\angle ABC$ は点 $B$ を含まない弧 $AC$ に対する円周角である。この弧の大きさは $2\pi-2\theta$ だから、$\angle ABC=\pi-\theta$。よって
$$T(\theta)=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC =2\sin^2\frac{\theta}{2}\sin\theta =\sin\theta(1-\cos\theta).$$
ここで $1-\cos\theta=2\sin^2\frac{\theta}{2}$ を用いた。したがって
$$\lim_{\theta\to+0}\frac{T(\theta)}{\theta^3} =2\left(\lim_{\theta\to+0}\frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\right)^2 \lim_{\theta\to+0}\frac{\sin\theta}{\theta} =2\cdot\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{2}.$$

(3) 中心角 $\angle BOD=2\theta$ より $BD=2\sin\theta$。点 $B$ を含まない弧 $AD$ の大きさは $2\pi-3\theta$ なので、円周角 $\angle ABD=\pi-\frac{3\theta}{2}$。したがって
$$U(\theta)=\frac{1}{2}AB\cdot BD\sin\angle ABD =2\sin\frac{\theta}{2}\sin\theta\sin\frac{3\theta}{2}.$$
積和の公式 $2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)$ と二倍角の公式から
$$\frac{U(\theta)}{\sin\theta} =2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{3\theta}{2} =\cos\theta-\cos2\theta =t-(2t^2-1) =(1-t)(2t+1).$$

(4) (2), (3) より、$0<\theta<\frac{\pi}{3}$ では $\sin\theta>0$, $1-t>0$ であり
$$f(\theta)=\frac{T(\theta)}{U(\theta)} =\frac{T(\theta)/\sin\theta}{U(\theta)/\sin\theta} =\frac{1-t}{(1-t)(2t+1)} =\frac{1}{2\cos\theta+1}.$$
ゆえに
$$\lim_{\theta\to+0}f(\theta)=\frac{1}{3}.$$
また、この範囲で $\frac{1}{2}<\cos\theta<1$ だから
$$2<2\cos\theta+1<3,$$
従って $\frac{1}{3}<f(\theta)<\frac{1}{2}$。$\cos\theta$ はこの区間で連続かつ単調減少し、$\frac{1}{2}<\cos\theta<1$ の全ての値をとるので、$f(\theta)$ の値の範囲は
$$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$
である。