2福島県立医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

正五角形の中心を原点 $\mathrm{O}$ とすると、$\mathrm{A}_{0},\ \mathrm{A}_{1}$ は原点を中心とする半径 1 の円上にあり、$\mathrm{A}_{j}$ の偏角は $j\theta$ である。したがって
$$\mathrm{A}_{2}(\cos 2\theta,\,\sin 2\theta),\quad \mathrm{A}_{3}(\cos 3\theta,\,\sin 3\theta),\quad \mathrm{A}_{4}(\cos 4\theta,\,\sin 4\theta)$$
である。以下、$\vec{a}_{j}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_{j}}$ とし、添字は 5 で割った余りで考える（$\vec{a}_{5}=\vec{a}_{0}$ など）。

(2)

積和の公式 $2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$ より
$$2\sin 36^{\circ}\cos 72^{\circ}=\sin 108^{\circ}-\sin 36^{\circ},\qquad 2\sin 36^{\circ}\cos 144^{\circ}=-\sin 108^{\circ}$$
が成り立つ。辺々を加えると $2\sin 36^{\circ}(\cos 72^{\circ}+\cos 144^{\circ})=-\sin 36^{\circ}$ となり、$\sin 36^{\circ}\ne 0$ より
$$\cos 72^{\circ}+\cos 144^{\circ}=-\dfrac{1}{2}$$
である。$\cos 144^{\circ}=-\cos 36^{\circ}$ より、$\cos 36^{\circ}=\cos 72^{\circ}+\dfrac{1}{2}$ となる。
$d=\cos 36^{\circ}$ とおく。$\cos 72^{\circ}=\cos(2\cdot 36^{\circ})=2d^{2}-1$ に代入すると $d-\dfrac{1}{2}=2d^{2}-1$、すなわち $4d^{2}-2d-1=0$ である。よって $d=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}$ である。$d>0$ より $d=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ であり、
$$\cos 36^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4},\qquad \cos 72^{\circ}=\cos 36^{\circ}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$
となる。

(3)

$\vec{a}_{i}$ を原点のまわりに $\pm 2\theta$ 回転すると $\vec{a}_{i+2}$、$\vec{a}_{i-2}$ になる。また $\vec{a}_{i}$ を $\pm\theta$ 回転すると $\vec{a}_{i\pm 1}$ になるので、
$$\vec{a}_{i-1}+\vec{a}_{i+1}=2\cos\theta\,\vec{a}_{i}$$
が成り立つ。同様に $\vec{a}_{i+2}+\vec{a}_{i-2}=2\cos 2\theta\,\vec{a}_{i}$ である。
$\mathrm{B}_{1}$ は $\triangle\mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}$ の重心なので、
$$\vec{b}_{1}=\dfrac{\vec{a}_{0}+\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}}{3}=\dfrac{1+2\cos\theta}{3}\,\vec{a}_{1}$$
である。$\mathrm{C}_{1}$ は $\triangle\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{3}\mathrm{A}_{4}$ の重心なので、$\vec{a}_{3}+\vec{a}_{4}=\vec{a}_{3}+\vec{a}_{-1}=2\cos 2\theta\,\vec{a}_{1}$ より
$$\vec{c}_{1}=\dfrac{\vec{a}_{1}+\vec{a}_{3}+\vec{a}_{4}}{3}=\dfrac{1+2\cos 2\theta}{3}\,\vec{a}_{1}$$
である。したがって $\vec{b}_{1}$ と $\vec{c}_{1}$ は、どちらも $\vec{a}_{1}$ の実数倍である。よって点 $\mathrm{A}_{1},\ \mathrm{B}_{1},\ \mathrm{C}_{1}$ は、いずれも原点 $\mathrm{O}$ を通る直線 $\mathrm{OA}_{1}$ 上にあるから、同一直線上にある。

(4)

(2) の結果より $1+2\cos 72^{\circ}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$、$1+2\cos 144^{\circ}=1-2\cos 36^{\circ}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ である。(3) と同じ計算を各 $i$ について行うと、すべての $i$ で
$$\vec{b}_{i}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}\,\vec{a}_{i},\qquad \vec{c}_{i}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{6}\,\vec{a}_{i}$$
が成り立つ。よって五角形 $\mathrm{B}_{0}\mathrm{B}_{1}\mathrm{B}_{2}\mathrm{B}_{3}\mathrm{B}_{4}$ は、五角形 $\mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3}\mathrm{A}_{4}$ を原点中心に $\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}$ 倍した図形である。五角形 $\mathrm{C}_{0}\cdots\mathrm{C}_{4}$ は、原点中心に $\dfrac{1-\sqrt{5}}{6}$ 倍した図形である（倍率が負のときは原点に関して反対側に現れるが、面積は倍率の二乗倍になる）。
面積の比は倍率の二乗の比だから
$$S_{b}=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}\right)^{2}S_{a}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{18}S_{a},\qquad S_{c}=\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{6}\right)^{2}S_{a}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{18}S_{a}$$
となり、
$$S_{a}:S_{b}:S_{c}=1:\dfrac{3+\sqrt{5}}{18}:\dfrac{3-\sqrt{5}}{18}=18:(3+\sqrt{5}):(3-\sqrt{5})$$
である。