5東京大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)

$u=z+3$ は中心 $3$、半径 $1$ の円上を動く。原点からの接線が実軸となす鋭角を $\gamma$ とすれば $\sin\gamma=\dfrac{1}{3}$ であり、$u$ の偏角は $-\gamma$ 以上 $\gamma$ 以下の範囲を動く。
$\gamma<\dfrac{\pi}{6}$ なので、$u^{3}$ の偏角の代表値 $\theta$ は $-3\gamma\leqq\theta\leqq3\gamma$ を満たし、$-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲にある。
従って三倍角の公式より
$$-\dfrac{23}{27}\leqq\sin\theta\leqq\dfrac{23}{27},\qquad\sin3\gamma=3\sin\gamma-4\sin^{3}\gamma=3\cdot\dfrac{1}{3}-4\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}=\dfrac{23}{27}.$$

(2)

$u=z-\alpha$ は中心 $c=-\alpha$、半径 $1$ の円上を動く。$u^{3}$ が正の実数になる方向は角度 $0,\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}$ の半直線であり、負の実数になる方向は $\dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3}$ の半直線である。原点だけとの交わりは数えない。
中心を $c=(x,\,y)$ とし、まず $0\leqq\arg c\leqq\dfrac{\pi}{3}$ を考える。この区画では、正の組で最も近い方向は $0$、負の組で最も近い方向は $\dfrac{\pi}{3}$ である。
中心からその方向への垂直射影は半直線上にあり、距離はそれぞれ $y$ と $\dfrac{\sqrt{3}x-y}{2}$ である。他の同じ色の方向は中心との角度がこれら以上なので、いずれかの同じ色の半直線に円が届くためには、この最も近いものにも届く必要がある。
従って両方に届く必要十分条件は
$$0\leqq y\leqq1,\qquad0\leqq\sqrt{3}x-y\leqq2.$$
境界でも接点は原点でない（中心が原点の場合は円と各半直線の交点は距離 $1$）ので、実軸の正の部分と負の部分との交わり条件を満たす。
この領域は頂点 $(0,\,0)$、$\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\,0\right)$、$(\sqrt{3},\,1)$、$\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\,1\right)$ の平行四辺形で、底辺 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$、高さ $1$ である。残り 5 区画も $60$ 度回転で同じ条件になり、境界以外は重ならない。$\alpha$ を $-\alpha$ にうつしても面積は変わらないので、求める面積は
$$6\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}.$$