4群馬大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1)

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ かつ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ である。$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}=4:1$ より
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec{h}=\dfrac{\vec{a}+4\vec{b}}{5},\qquad |\vec{h}|^{2}=\dfrac{17}{25}.$$
$u=\vec{a}\cdot\vec{c}$、$v=\vec{b}\cdot\vec{c}$ とおく。$\mathrm{CH}\perp\mathrm{AB}$ から、
$$0=(\vec{c}-\vec{h})\cdot(\vec{b}-\vec{a})=v-u-\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{5}\right)$$
よって $v-u=\dfrac{3}{5}$ である。また、
$$\dfrac{13}{25}=|\vec{c}-\vec{h}|^{2}=1+\dfrac{17}{25}-2\vec{c}\cdot\vec{h}$$
より $\vec{c}\cdot\vec{h}=\dfrac{29}{50}$、したがって $u+4v=5\,\vec{c}\cdot\vec{h}=\dfrac{29}{10}$ である。これらを解いて
$$\vec{a}\cdot\vec{c}=u=\dfrac{1}{10},\qquad \vec{b}\cdot\vec{c}=v=\dfrac{7}{10}.$$

(2)

内積を展開すると、
$$|\vec{c}-s\vec{a}-t\vec{b}|^{2} =|\vec{c}|^{2}+s^{2}|\vec{a}|^{2}+t^{2}|\vec{b}|^{2}-2s\,\vec{a}\cdot\vec{c}-2t\,\vec{b}\cdot\vec{c}+2st\,\vec{a}\cdot\vec{b} =s^{2}+t^{2}-\dfrac{s}{5}-\dfrac{7t}{5}+1.$$

(3)

$\vec{a}$、$\vec{b}$ は直交するので、$\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の定める平面は $\vec{a}$、$\vec{b}$ で張られる平面である。もし $\mathrm{C}$ もこの平面上にあれば、実数 $s$、$t$ により $\vec{c}=s\vec{a}+t\vec{b}$ と書けるので、(2) の式は 0 となる。しかし平方完成すると、
$$|\vec{c}-s\vec{a}-t\vec{b}|^{2}=\left(s-\dfrac{1}{10}\right)^{2}+\left(t-\dfrac{7}{10}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}>0$$
であり、どの実数 $s$、$t$ に対しても 0 にならない。したがって $\mathrm{C}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ 上になく、4 点 $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は同一平面上にない。