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岐阜大学／2026年度

2岐阜大学 2026年 数学 第2問解答・解説

ベクトル図形と計量いろいろな式

1問題

岐阜大学2026年度第2問
0<s<10<s<1 とする。Oを原点とする座標空間内に点 A(0,−1,1)A(0,-1,1)、B(1,1,0)B(1,1,0) をとる。また、線分ABを s:(1−s)s:(1-s) に内分する点をP、線分OPを 1:21:2 に内分する点をQとする。OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a}、OB→=b⃗\overrightarrow{OB}=\vec{b} とし、以下の問に答えよ。

(1) 内積 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} を求めよ。

(2) △OABの面積を求めよ。

(3) OQ→\overrightarrow{OQ} を、a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}、ss を用いて表せ。

(4) rr を実数とする。点 R(r,r,r)R(r,r,r) を OQ→⋅RQ→=0\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{RQ}=0 となるように定める。rr を ss を用いて表せ。

(5) 点Rを(4)のように定める。ss が動くとき、rr の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    −1-1
  • (2)
    32\frac{\sqrt3}{2}
  • (3)
  • (4)
    r=s−1+13sr=s-1+\frac{1}{3s}
  • (5)
    min⁡r=23−1.\min r=\frac{2}{\sqrt3}-1.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

空間座標と位置ベクトルで(1)〜(4)を処理し、(2)は内積からなす角を求めて三角形の面積公式を適用する。(5)は得られたrを相加相乗平均で評価し、等号成立条件を確認する。

解答

(1) a⃗=(0,−1,1)\vec{a}=(0,-1,1)、b⃗=(1,1,0)\vec{b}=(1,1,0) より
a⃗⋅b⃗=0⋅1+(−1)⋅1+1⋅0=−1. \vec{a}\cdot\vec{b}=0\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot0=-1.

(2) ∣a⃗∣=∣b⃗∣=2|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt2。a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} のなす角をθ\thetaとすると
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=−12,sin⁡θ=32. \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-\frac12, \qquad \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}.
よって[△OAB]=12∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ=32[\triangle OAB]=\frac12|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}。

(3) AP:PB=s:(1−s)AP:PB=s:(1-s) よりOP→=(1−s)a⃗+sb⃗\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}。またOQ:QP=1:2OQ:QP=1:2なので
OQ→=13OP→=1−s3a⃗+s3b⃗. \overrightarrow{OQ}=\frac13\overrightarrow{OP}=\frac{1-s}{3}\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b}.

(4) OQ→=q⃗=(s3,2s−13,1−s3)\overrightarrow{OQ}=\vec{q}=\left(\frac{s}{3},\frac{2s-1}{3},\frac{1-s}{3}\right)、RQ→=q⃗−r(1,1,1)\overrightarrow{RQ}=\vec{q}-r(1,1,1) だから条件は
∣q⃗∣2−r(qx+qy+qz)=0. |\vec{q}|^2-r(q_x+q_y+q_z)=0.
ここで
qx+qy+qz=2s3,∣q⃗∣2=s2+(2s−1)2+(1−s)29=6s2−6s+29. q_x+q_y+q_z=\frac{2s}{3}, \qquad |\vec{q}|^2=\frac{s^2+(2s-1)^2+(1-s)^2}{9}=\frac{6s^2-6s+2}{9}.
s>0s>0 より
r=∣q⃗∣22s/3=3s2−3s+13s=s−1+13s. r=\frac{|\vec{q}|^2}{2s/3}=\frac{3s^2-3s+1}{3s}=s-1+\frac{1}{3s}.

(5) s>0s>0 なので相加相乗平均より
s+13s≧213=23. s+\frac{1}{3s}\geqq2\sqrt{\frac13}=\frac{2}{\sqrt3}.
等号はs=13s=\frac{1}{\sqrt3} のときに成立し、この値は0<s<10<s<1を満たす。したがってrrの最小値は
23−1. \boxed{\frac{2}{\sqrt3}-1}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 位置ベクトル
  • ベクトルの和・差・実数倍
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察
  • 三角比による面積
  • 等式・不等式の証明
  • ベクトルの成分表示

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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