2千葉大学 2024年 数学 第2問解答・解説

取り出す球の組（色の組合せ）ごとに、その組が出る確率と、その組で目標の得点になる確率を掛けて足す。順番を気にしなくてよいように、球の組の確率は組合せで数える。1 回で得られる得点は、赤が 2 点か 0 点、白が 1 点、黒が 1 点か 0 点である。

3 回取り出すとき、色の組の確率は ${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$ を分母とする組合せで求められる（2 回のときは ${}_{10}\mathrm{C}_{2}=45$）。1 回の得点は、白は必ず 1 点、黒は確率 $\dfrac{1}{3}$ で 1 点、赤は確率 $\dfrac{1}{2}$ で 2 点である。

(1)

総得点 3 点は、赤で 2 点、もう 1 個で 1 点のときに限る。
・赤と白：組の確率 $\dfrac{2\cdot3}{45}=\dfrac{2}{15}$、得点の確率 $\dfrac{1}{2}$。

・赤と黒：組の確率 $\dfrac{2\cdot5}{45}=\dfrac{2}{9}$、得点の確率 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$。

よって $\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{27}=\dfrac{14}{135}$。

(2)

1 個あたりの得点は赤の 2 点が最大なので、5 点になるのは赤 2 個がともに表で、残りの 1 個で 1 点のときに限る。
・赤 2・白 1：組の確率 $\dfrac{3}{120}$、得点の確率 $\dfrac{1}{4}$。

・赤 2・黒 1：組の確率 $\dfrac{5}{120}$、得点の確率 $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}$。

よって $\dfrac{3}{120}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{120}\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{160}+\dfrac{1}{288}=\dfrac{7}{720}$。

(3)

総得点 4 点となる場合を求める。赤の表が 1 回もなければ 3 点以下なので、次のどちらかである。

・赤 2 個がともに表で、残りが 0 点：残りは黒で 0 点のときだけ。$\dfrac{5}{120}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{144}$。

・赤 1 個が表で、残りの 2 個（白か黒）がともに 1 点：
白 2 個のとき $\dfrac{2\cdot3}{120}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{40}$、白・黒のとき $\dfrac{2\cdot3\cdot5}{120}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{24}$、黒 2 個のとき $\dfrac{2\cdot10}{120}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{108}$。

よって 4 点となる確率は
$$\dfrac{1}{144}+\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{108}=\dfrac{15+54+90+20}{2160}=\dfrac{179}{2160}.$$
(2) と合わせて、4 点以上となる確率は
$$\dfrac{179}{2160}+\dfrac{7}{720}=\dfrac{179+21}{2160}=\dfrac{5}{54}.$$