9千葉大学 2024年 数学 第9問解答・解説

パスカルの恒等式で有限和を隣り合う項が打ち消し合う形へ変形し、その関係をmについて帰納的に使って極限を求める。

(1) $tF(m,n)=\sum_{k=m+1}^{m+n}{}_{k-1}\mathrm{C}_{m}t^k$ と添字をずらす。また $(t-1)F(m+1,n)=\sum_{k=m+1}^{m+n}{}_{k}\mathrm{C}_{m+1}(t^{k+1}-t^k)$ である。パスカルの恒等式 ${}_{k}\mathrm{C}_{m+1}={}_{k-1}\mathrm{C}_{m+1}+{}_{k-1}\mathrm{C}_{m}$ を用いると、$$(t-1)F(m+1,n)+tF(m,n)=\sum_{k=m+1}^{m+n}\left\{{}_{k}\mathrm{C}_{m+1}t^{k+1}-{}_{k-1}\mathrm{C}_{m+1}t^k\right\}={}_{m+n}\mathrm{C}_{m+1}t^{m+n+1}.$$ 最後は隣り合う項が消去され、下端の係数 ${}_{m}\mathrm{C}_{m+1}=0$ となるためである。したがって $A={}_{m+n}\mathrm{C}_{m+1}t^{m+n+1-p}$。二項係数は正であるから、これが $t$ によらないためには指数が0でなければならず、$p=m+n+1$、$A={}_{m+n}\mathrm{C}_{m+1}$。

(2) $m=0$ では $F(0,n)=\sum_{k=0}^{n-1}t^k=(1-t^n)/(1-t)\to1/(1-t)$。次に $m\geqq1$ とする。(1)の恒等式で $m$ を $m-1$ に置き換えると $$(t-1)F(m,n)+tF(m-1,n)={}_{m+n-1}\mathrm{C}_{m}t^{m+n},$$ よって $$F(m,n)=\frac{t}{1-t}F(m-1,n)-\frac{{}_{m+n-1}\mathrm{C}_{m}t^{m+n}}{1-t}.$$ 固定した $m\geqq1$ に対して $k=m+n-1$ とおけば ${}_{k}\mathrm{C}_{m}\leqq k^m/m!$ なので、補正項の絶対値は $\frac{t}{m!(1-t)}k^m t^k\to0$。これは問題で許された極限に $s=t$ を代入したものである。したがって、$m-1$ で極限が存在すれば $m$ でも存在し、極限値 $L_m$ は $L_m=\frac{t}{1-t}L_{m-1}$ を満たす。基底 $L_0=1/(1-t)$ から $L_m=t^m/(1-t)^{m+1}$ を得る。