7千葉大学 2024年 数学 第7問解答・解説

n$\geqq$1 とする。

(1)　 f(1)=-1 なので $\alpha$$\ne$1 であり、代入が定義される。
$$f\!\left(\frac{1}{1-\alpha}\right) =\frac{1-2n(1-\alpha)+(2n-3)(1-\alpha)^2+(1-\alpha)^3}{(1-\alpha)^3} =-\frac{f(\alpha)}{(1-\alpha)^3}=0.$$

(2)　 f は連続であり、
$$f(0)=1>0,\qquad f\!\left(\frac12\right)=\frac n2-\frac38=\frac{4n-3}{8}>0,\qquad f(1)=-1<0.$$
また、三次の最高次係数は正なので
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.$$
したがって中間値の定理により、方程式 $f(x)=0$ は
$$x<0,\qquad \frac12<x<1,\qquad x>1$$
の各範囲に少なくとも1つ実数解をもつ。これらは互いに異なる3つの解であり、三次方程式の解は高々3つだから、異なる3つの実数解をもつ。

(3)　 (2)より、2番目に大きい解 $\beta_n$ は $\frac12$<$\beta_n$<1 を満たす。
$$0=f(\beta_n) =2n\beta_n(1-\beta_n)+\beta_n^3-3\beta_n+1,$$
よって
$$0<1-\beta_n =\frac{-\beta_n^3+3\beta_n-1}{2n\beta_n} <\frac{2}{2n\beta_n} <\frac{2}{n}.$$
ここで分子は正であることが等式から分かり、$-\beta_n^3+3\beta_n-1<2$ は $0<\beta_n<1$ から従う。また $\beta_n>1/2$ なので最後の不等式が成り立つ。したがってはさみうちの原理より
$$\lim_{n\to\infty}\beta_n=1.$$