I鳥取大学 2023年 数学 第I問解答・解説

箱 $A$ の中に赤球 $6$ 個と白球 $n$ 個の合計 $n+6$ 個の球が入っている。箱 $B$ の中に白球 $4$ 個の球が入っている。ただし、$n$ は自然数とし、球はすべて同じ確率で取り出されるものとする。以下の問いに答えよ。
（1）箱 $A$ から同時に $2$ 個の球を取り出すとき、赤球が $1$ 個と白球が $1$ 個取り出される確率を $p_n$ とする。$p_n$ が最大となる $n$ と、そのときの $p_n$ の値を求めよ。
（2）箱 $A$ から同時に $2$ 個の球を取り出し箱 $B$ に入れ、よくかき混ぜた後で箱 $B$ から同時に $2$ 個の球を取り出すとき、赤球が $1$ 個と白球が $1$ 個取り出される確率を $q_n$ とする。$q_n<\dfrac{1}{3}$ となる $n$ の最小値を求めよ。