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千葉大学／2024年度

4千葉大学 2024年 数学 第4問解答・解説

積分法平面上の曲線と複素数平面場合の数と確率

難易度必答 レベル 3/10 目安 15分編集部の評価

対象教育・理・工・薬など医学科は解かない

1問題

千葉大学2024年度第4問
以下の問いに答えよ。

(1) 定積分 ∫02π3x2sin⁡x dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}x^{2}\sin x\,dx を求めよ。

(2) 複素数平面上の 3 点 P(z)\mathrm{P}(z)、Q(−1)\mathrm{Q}(-1)、R(3−1−i)\mathrm{R}(\sqrt{3}-1-i) が正三角形をなすとき、複素数 zz を求めよ。ただし、ii は虚数単位である。

(3) 正の整数 n, p, qn,\,p,\,q が、p>qp>q かつ pC2+qC1=n{}_{p}\mathrm{C}_{2}+{}_{q}\mathrm{C}_{1}=n を満たすとする。mC2≦n{}_{m}\mathrm{C}_{2}\leqq n となる最大の整数 mm を求めよ。

出典：千葉大学 2024年度 数学 第4問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    29π2+233π−3\dfrac{2}{9}\pi^{2}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi-3
  • (2)
    z=3−1+i, −1−2iz=\sqrt{3}-1+i,\ -1-2i
  • (3)
    m=pm=p

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は部分積分を 2 回行う。(2) は Q\mathrm{Q} を中心に R\mathrm{R} を ±π3\pm\dfrac{\pi}{3} 回転した点が P\mathrm{P} である。(3) は pC2<n<p+1C2{}_{p}\mathrm{C}_{2}<n<{}_{p+1}\mathrm{C}_{2} を示せばよい（p+1C2=pC2+p{}_{p+1}\mathrm{C}_{2}={}_{p}\mathrm{C}_{2}+p）。

解答

(1)

部分積分を 2 回行うと
∫x2sin⁡x dx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C. \int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.
よって
∫02π3x2sin⁡x dx=(4π29⋅12+4π3⋅32−1)−2=29π2+233π−3. \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}x^{2}\sin x\,dx=\left(\dfrac{4\pi^{2}}{9}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{4\pi}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)-2=\dfrac{2}{9}\pi^{2}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\pi-3.

(2)

P\mathrm{P} は、Q\mathrm{Q} を中心に R\mathrm{R} を ±π3\pm\dfrac{\pi}{3} 回転した点である。(3−1−i)−(−1)=3−i(\sqrt{3}-1-i)-(-1)=\sqrt{3}-i だから
z=−1+(3−i)(12±32i). z=-1+(\sqrt{3}-i)\left(\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right).
(3−i)(12+32i)=3+i(\sqrt{3}-i)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\sqrt{3}+i、(3−i)(12−32i)=−2i(\sqrt{3}-i)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-2i より
z=3−1+i,−1−2i. z=\sqrt{3}-1+i,\quad -1-2i.

(3)

qC1=q{}_{q}\mathrm{C}_{1}=q で、1≦q≦p−11\leqq q\leqq p-1 だから
pC2<n≦pC2+p−1<pC2+p=p+1C2. {}_{p}\mathrm{C}_{2}<n\leqq{}_{p}\mathrm{C}_{2}+p-1<{}_{p}\mathrm{C}_{2}+p={}_{p+1}\mathrm{C}_{2}.
mC2=m(m−1)2{}_{m}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{m(m-1)}{2} は m≧1m\geqq1 で増加するから、mC2≦n{}_{m}\mathrm{C}_{2}\leqq n となるのは m≦pm\leqq p のときである。よって求める最大の整数は m=pm=p。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 部分積分
  • 複素数の回転
  • 不等式による評価

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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