千葉大学／2024年度

6千葉大学 2024年数学第6問解答・解説

微分法積分法指数関数・対数関数

1問題

千葉大学2024年度第6問

関数

f(x)=e^{x}+e^{-2x}

について以下の問いに答えよ。

(1) 関数

f(x)

の最小値を求めよ。

(2)

f(x)=2

となる

x

の値をすべて求めよ。

(3) (2)で求めた

x

の値のうち最小のものを

a_{1}

、最大のものを

a_{2}

とする。

y=f(x)

のグラフ、

x

軸、直線

x=a_{1}

、直線

x=a_{2}

で囲まれる図形を

x

軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1)

f'(x)=e^x-2e^{-2x}=e^{-2x}(e^{3x}-2)

。

e^{-2x}>0

なので符号は

e^{3x}-2

で決まり、

x=\frac{\log2}{3}

まで減少し、その後増加する。よって最小値は

2^{1/3}+2^{-2/3}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}.

(2)

t=e^x>0

と置くと

e^x+e^{-2x}=2\quad\text{すなわち}\quad t+t^{-2}=2\quad\text{すなわち}\quad (t-1)(t^2-t-1)=0.

正の根は

t=1

と

t=\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

なので

x=0,\log\phi

。
(3)

f(x)>0

だから、二つの交点の間で回転した体積は円板法で

V=\pi\int_0^{\log\phi}(e^x+e^{-2x})^2dx =\pi\left[\frac12e^{2x}-2e^{-x}-\frac14e^{-4x}\right]_0^{\log\phi}.

\phi^2=(3+\sqrt5)/2,\ \phi^{-1}=(\sqrt5-1)/2,\ \phi^{-4}=(7-3\sqrt5)/2

を代入して整理すると

V=\frac{3\pi(7-\sqrt5)}8.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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