5千葉大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)

全事象は、$2n$ 個の点から異なる3点を選ぶので ${}_{2n}\mathrm{C}_{3}$ 通りである。3点が同一直線上にあるためには、その直線は水平でなければならない。実際、水平でない直線は $y=1,\,2$ の各行と高々1点ずつしか交わらず、選べる点は最大2点である。したがって3点全部が同じ高さの行にある場合だけが面積0となる。このような選び方は $2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 通りであり、これらの面積は $0$ である。

面積が正であるときは、3点のうち2点が一方の高さ、残り1点が他方の高さにある。2点の $x$ 座標の差を $k$ とすると、その2点を底辺とする高さは $1$ なので、面積は $\dfrac{k}{2}$ である。$1\leqq k\leqq n-1$ のとき、底辺の左端は $n-k$ 通り、底辺を置く高さは2通り、他方の高さの頂点は $n$ 通りだから、有利な選び方は $2n(n-k)$ 通りとなる。

したがって
$$p_{0}=\dfrac{2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}=\dfrac{n-2}{2(2n-1)},\qquad p_{k}=\dfrac{2n(n-k)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}=\dfrac{3(n-k)}{(2n-1)(n-1)}\quad(1\leqq k\leqq n-1).$$
$k\geqq n$ では座標差 $k$ の2点を選べないので $p_{k}=0$。

(2)

$r_{n}=\left[\dfrac{n}{2}\right]$（ガウス記号）とおくと、$X=\dfrac{k}{2}$ だから $X\leqq\dfrac{n}{4}$ は $k\leqq r_{n}$ と同値である。よって
$$q_{n}=\dfrac{2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}+2n\displaystyle\sum_{k=1}^{r_{n}}(n-k)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}} =\dfrac{2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}+2n\left(r_{n}n-\dfrac{r_{n}(r_{n}+1)}{2}\right)}{{}_{2n}\mathrm{C}_{3}}.$$
$r_{n}/n\to\dfrac{1}{2}$ であるから、分子を $n^{3}$ で割った極限は
$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}}{n^{3}} +\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{2r_{n}}{n}-\dfrac{r_{n}(r_{n}+1)}{n^{2}}\right) =\dfrac{1}{3}+\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{13}{12}.$$
また ${}_{2n}\mathrm{C}_{3}/n^{3}\to\dfrac{4}{3}$ なので
$$\lim_{n\to\infty}q_{n}=\dfrac{13/12}{4/3}=\dfrac{13}{16}.$$

全事象の数は ${}_{2n}\mathrm{C}_{3}$ である。面積0となるのは3点が同じ水平の列にある場合だけで、$2\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 通り。正の面積の場合、同じ列にある2点の $x$ 方向の距離を $k$ とすると面積は $\dfrac{k}{2}$。底辺の行の選択が2通り、左端が $n-k$ 通り、別の行の頂点が $n$ 通りなので、有利な数は $2n(n-k)$ である。これを全事象で割ると $p_{k}=\dfrac{3(n-k)}{(n-1)(2n-1)}$。$r=\left[\dfrac{n}{2}\right]$ とすれば $q_{n}=p_{0}+\sum_{k=1}^{r}p_{k}$。$p_{0}\to\dfrac{1}{4}$、和は $\dfrac{3\left\{nr-\frac{r(r+1)}{2}\right\}}{(n-1)(2n-1)}\to\dfrac{9}{16}$ だから、極限は $\dfrac{13}{16}$。