8千葉大学 2024年 数学 第8問解答・解説

(1) 内接・外接の条件から $OD=1-p$，$OE=1-q$，$DE=p+q$。特に $0<p,q<1$ である。余弦定理より
$$(p+q)^2=(1-p)^2+(1-q)^2-2(1-p)(1-q)\cos\theta.$$
整理すると $(1-p)(1-\cos\theta)=q\{1+p-(1-p)\cos\theta\}$。分母は $2p+(1-p)(1-\cos\theta)>0$ だから
$$\boxed{q=\frac{(1-p)(1-\cos\theta)}{1+p-(1-p)\cos\theta}}.$$
(2) $(1-\cos\theta)/\theta^2\to1/2$ と，分母が $2p$ に近づくことから
$$\boxed{\lim_{\theta\to0+}\frac q{\theta^2}=\frac{1-p}{4p}}.$$

(3) $C_3$ の中心を $F$ とする。$OD=OF=1-p$，$ED=EF=p+q$ だから，$O,E$ はともに線分 $DF$ の垂直二等分線上にある。$O\ne E$ より直線 $OE$ がその垂直二等分線であり，$D,F$ はこの直線に関して対称となる。
さらに $DF=2p$ より，$D$ から直線 $OE$ への距離は $p$。従って
$$(1-p)\sin\theta=p,\qquad \sin\theta=\frac p{1-p}.\tag{*}$$
$p=\sqrt2-1$ のとき $\sin\theta=1/\sqrt2$ なので，$0<\theta<\pi$ の範囲で $\theta=\pi/4$ または $3\pi/4$。
このとき $(1-p)\cos\theta$ はそれぞれ $p,-p$ なので (1) より
$$\begin{array}{c|c} \theta&q\\\hline \pi/4&\displaystyle\frac{1-2p}{1}=3-2\sqrt2\\[3pt] 3\pi/4&\displaystyle\frac1{1+2p}=\frac{2\sqrt2+1}{7} \end{array}$$
いずれも $0<q<1$。この各配置で $D$ を直線 $OE$ に関して反転して $F$ を作れば，$OF=OD$，$EF=ED$，$DF=2p$ となる。従って両方とも実際に条件を満たす。
よって
$$\boxed{q=3-2\sqrt2,\ (2\sqrt2+1)/7}.$$

(4) この小問では三つの円の接触条件を保って $\theta\to0+$ とするので，$p$ も変化する。$s=\sin\theta$ とおくと (*) より $p=s/(1+s)$。
これを (1) に代入すると
$$q=\frac{1-\cos\theta}{1+2s-\cos\theta},\qquad \frac qp=\frac{(1+s)(1-\cos\theta)}{s\{2s+1-\cos\theta\}}.$$
$\theta$ が0に近いとき $1-\cos\theta=s^2/(1+\cos\theta)$ だから
$$\frac qp=\frac{1+s}{2(1+\cos\theta)+s}\longrightarrow\boxed{\frac14}.$$