4徳島大学 2026年 数学 第4問解答・解説

サイコロの目から得られる点は、各座標が $1,2,\ldots,6$ のいずれかである格子点であり、その数は $36$ 個である。したがって $(A,B,C)$ の順序つきの組は $36^3=46656$ 通りで、すべて同様に確からしい。

(1) $A,B,C$ が異なるための順序つきの選び方は $36\cdot35\cdot34$ 通りだから、
$$P=\frac{36\cdot35\cdot34}{36^3}=\frac{595}{648}.$$

(2) 傾き $1$ の直線は $y=x+k\ (-5\leqq k\leqq5)$ と表せる。各直線上の格子点数は $6-|k|$ 個なので、異なる順序つき三点の総数は
$$\sum_{k=-5}^{5}(6-|k|)(5-|k|)(4-|k|) =6\cdot5\cdot4+2(5\cdot4\cdot3)+2(4\cdot3\cdot2)+2(3\cdot2\cdot1)=300.$$
よって確率は $300/36^3=25/3888$。

(3) 傾き $2$ の直線を $y=2x+b$ とする。$b=y-2x$ が $-7,-6,\ldots,0$ の各値をとるとき、その直線上には格子点がそれぞれ $3$ 個ある。それ以外の $b$ では格子点は高々 $2$ 個である。したがって異なる順序つき三点の総数は $8\cdot3\cdot2\cdot1=48$ であり、確率は $48/36^3=1/972$。

(4) 三つの異なる格子点を通る直線の原始方向ベクトルを $(u,v)$ とする。格子点の座標の幅は各々 $5$ であり、三点が異なるので両端の点の差は少なくとも $(2|u|,2|v|)$ の大きさになる。よって $|u|,|v|\leqq2$。原始方向であることから、可能な傾きは $0,\infty,\pm1,\pm2,\pm\frac12$ に限られる。

一つの傾きについての、直線上にある異なる順序つき三点の数を数えると、傾き $0,\infty$ はそれぞれ $6$ 本の直線が各 $6$ 点を含むので $6\cdot6\cdot5\cdot4=720$ 通り、傾き $1,-1$ は直線上の点数が $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ となるのでそれぞれ $300$ 通りである。また傾き $2,-2,\frac12,-\frac12$ はそれぞれ $3$ 点を含む直線が $8$ 本あり、それぞれ $8\cdot3\cdot2\cdot1=48$ 通りである。したがって、異なる三点が一直線上にある順序つきの組は
$$2\cdot720+2\cdot300+4\cdot48=2232\text{ 通り}.$$
三角形をなす組は、異なる三点の組からこれらを除いた $36\cdot35\cdot34-2232=40608$ 通り。よって求める確率は
$$\frac{40608}{36^3}=\frac{47}{54}.$$