2東京大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1)

格子点を $(x,y)$（$x=1,2,3$、$1\leqq y\leqq n$）とする。全三点組は ${}_{3n}\mathrm{C}_{3}$ 個である。

三点が一直線上にある場合を数える。縦の直線上にある三点組は、列を選び、その列の $n$ 点から三点を選ぶので $3\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 個。縦でない直線上の三点組では、各列に一点ずつある。各列の高さを $y_1,y_2,y_3$ とすると、列の間隔が等しいため、一直線上にある条件は $y_2-y_1=y_3-y_2$、すなわち $2y_2=y_1+y_3$ である。したがって $y_1,y_3$ は同じ偶奇であり、そのような端の高さの組ごとに中間の高さ $y_2$ が一意に定まる。平均は $1$ 以上 $n$ 以下だから、縦でない場合の個数は $\left[\dfrac{n+1}{2}\right]^2+\left[\dfrac{n}{2}\right]^2$。

よって一直線上の三点組の総数は $3\cdot{}_{n}\mathrm{C}_{3}+\left[\dfrac{n+1}{2}\right]^2+\left[\dfrac{n}{2}\right]^2$ である。

$n=5$ では全三点組が ${}_{15}\mathrm{C}_{3}=455$ 個、一直線上の三点組が $3\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{3}+3^2+2^2=43$ 個なので、$p_5=\dfrac{455-43}{455}=\dfrac{412}{455}$。

(2)

$n=2m$（$m\geqq2$）では全三点組が ${}_{6m}\mathrm{C}_{3}=2m(3m-1)(6m-1)$ 個、一直線上の三点組が $3\cdot{}_{2m}\mathrm{C}_{3}+2m^2=2m(2m-1)(m-1)+2m^2$ 個である。したがって
$$\begin{aligned} p_{2m}&=1-\dfrac{2m(2m-1)(m-1)+2m^2}{2m(3m-1)(6m-1)}\\ &=\dfrac{m(16m-7)}{(3m-1)(6m-1)}. \end{aligned}$$$$p_{2m}=1-\frac{2m(2m-1)(m-1)+2m^2}{2m(3m-1)(6m-1)}$$$$=\frac{m(16m-7)}{(3m-1)(6m-1)}.$$