2滋賀医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

復元抽出なので、順序つきの全結果数は $10^3=1000$。

(1) 0から9のうち素数は2,3,5,7の4個。3回とも素数でない確率は $(6/10)^3$ なので
$$1-\left(\frac6{10}\right)^3=\frac{98}{125}.$$

(2) $a_2$ ごとに数える。$a_2=2$ なら $(a_1,a_3)$ は $(1,4),(1,6),(1,8)$ の3通り。$a_2=3$ なら $(1,6),(1,9)$ の2通り。$a_2=4$ なら $(1,8),(2,8)$ の2通り。$a_2\geqq5$ では $a_3>a_2$ を満たす9以下の倍数がない。したがって7通りで、確率は $7/1000$。

(3) まず $a_2=0$ の場合を数える。このとき $a_3$ は $0$、$a_1$ は $0$ から $9$ までのどれでもよく、10 通りである。以下、$1\leqq b\leqq9$ として $a_2=b$ を固定する。このとき $a_1$ は $0$ でない（$a_1=0$ なら $a_2=0$ になる）。$a_1$ の選び方は $b$ の正の約数の個数、$a_3$ は0を含む9以下の $b$ の倍数の個数である。
$$\begin{array}{c|rrrrrrrrr} b&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline a_1&1&2&2&3&2&4&2&4&3\\ a_3&10&5&4&3&2&2&2&2&2\\\hline 積&10&10&8&9&4&8&4&8&6 \end{array}$$
表の合計は 67 通りで、これに $a_2=0$ の 10 通りを加えて 77 通り。確率は $77/1000$。