6東北大学 2024年 数学 第6問解答・解説

(1)

母線上の点を $X=P+\lambda(Q-P)$ とおけば $X=(\lambda\cos\theta,\lambda\sin\theta,1-\lambda)$。平面 $z=x$ との交点では $1-\lambda=\lambda\cos\theta$ より $\lambda=1/(1+\cos\theta)$。$|PQ|=\sqrt{2}$ だから
$$r(\theta)=PR=\dfrac{\sqrt{2}}{1+\cos\theta}.$$

(2)

円錐の母線長は $L=\sqrt{2}$、底面半径は1。側面を展開すると、底面円弧の角度幅 $\Delta\alpha$ は扇形の中心角幅 $\Delta\phi=\Delta\alpha/L=\Delta\alpha/\sqrt{2}$ に対応する。$\theta\leqq\alpha\leqq\theta+h$ の範囲を分割し、分点を $\alpha_0=\theta<\alpha_1<\cdots<\alpha_N=\theta+h$ とする。各小区間における曲線 $E$ の母線方向の距離は両端の $r$ の間にある。したがって、その部分の面積は半径 $r(\alpha_{j-1})$ と $r(\alpha_j)$ を境界とする扇形の面積にはさまれ、全区間では
$$\dfrac1{2\sqrt{2}}\sum_{j=1}^N r(\alpha_{j-1})^2\Delta\alpha_j\leqq S(\theta+h)-S(\theta)\leqq\dfrac1{2\sqrt{2}}\sum_{j=1}^N r(\alpha_j)^2\Delta\alpha_j.$$
ここで $0\leqq\alpha\leqq\pi/2$ では $\cos\alpha$ が減少するため $r(\alpha)^2=2/(1+\cos\alpha)^2$ は増加する。従って分割の幅を0に近づけた両端和は、連続関数 $r^2$ の積分に収束し、さらに各値は区間の端点で挟まれる。よって
$$S(\theta+h)-S(\theta)=\dfrac1{2\sqrt{2}}\int_\theta^{\theta+h}r(\alpha)^2d\alpha, \qquad \dfrac{h\{r(\theta)\}^2}{2\sqrt{2}}\leqq S(\theta+h)-S(\theta)\leqq\dfrac{h\{r(\theta+h)\}^2}{2\sqrt{2}}.$$
(3)

底面円の $x\geqq0$ の円弧は $-\pi/2\leqq\alpha\leqq\pi/2$ に対応する。底面の母線長は $L=\sqrt{2}$ であり、各角度幅 $\Delta\alpha$ は展開図の中心角幅 $\Delta\alpha/\sqrt{2}$ に対応する。$-\pi/2\leqq\alpha\leqq0$ と $0\leqq\alpha\leqq\pi/2$ の範囲に分けて分割すると、$r(\alpha)^2$ は前半で減少、後半で増加する。各小区間の側面領域は、外半径 $\sqrt{2}$ と曲線半径 $r$ の間の扇形環であり、その面積は端点での $r^2$ を使った扇形環の面積にはさまれる。分割ごとの下和・上和は
$$\dfrac1{2\sqrt{2}}\sum_j\!\left(2-\max_{\alpha_{j-1}\leqq\alpha\leqq\alpha_j}r(\alpha)^2\right)\Delta\alpha_j\leqq T\leqq\dfrac1{2\sqrt{2}}\sum_j\!\left(2-\min_{\alpha_{j-1}\leqq\alpha\leqq\alpha_j}r(\alpha)^2\right)\Delta\alpha_j.$$
分割幅を0に近づけると連続関数の両和は積分に収束するので
$$T=\dfrac1{2\sqrt{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(2-r(\alpha)^2\right)d\alpha =\dfrac1{\sqrt{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1-\dfrac1{(1+\cos\alpha)^2}\right)d\alpha.$$
$u=\tan(\alpha/2)$ とおくと積分範囲は $-1\leqq u\leqq1$、$d\alpha=2du/(1+u^2)$、$1+\cos\alpha=2/(1+u^2)$。従って
$$T=\dfrac1{\sqrt{2}}\int_{-1}^1\left(\dfrac2{1+u^2}-\dfrac{1+u^2}{2}\right)du =\dfrac1{\sqrt{2}}\left(\pi-\dfrac43\right).$$