1東北大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$a$ を正の実数とし、$f(x) = x^{2} - 2ax + 4a^{2}$ とする。O を原点とする $xy$ 平面上の放物線 $C: y = f(x)$ の頂点を A とする。直線 OA と $C$ の交点のうち A と異なるものを $\mathrm{P}(p, f(p))$ とし、O から $C$ へ引いた接線の接点を $\mathrm{Q}(q, f(q))$ とする。ただし、$q > 0$ とする。

(1) p, q の値を a を用いて表せ。また、p > q であることを示せ。

(2) 放物線 C の $q \leqq x \leqq p$ の部分、線分 OP、および線分 OQ で囲まれた図形の面積を S とおく。S を a を用いて表せ。

(3) (2) の S に対し、$S = \frac{2}{3}$ となるときの a の値を求めよ。