2岩手医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

空間座標と円の方程式で長さ・切断平面を決定し、弓形の面積と断面積の定積分から体積を求める。

問1　
円 $C$ は $z=0,\ x^2+y^2=36$ であり、平面 $\alpha$ は $x=3$ である。したがって交点は
$A=(3,3\sqrt{3},0),\ B=(3,-3\sqrt{3},0)$ となるから、
$$AB=3\sqrt{3}-(-3\sqrt{3})=6\sqrt{3}.$$
また、$D=(6,0,3),\ M=(3,0,0)$ より
$$DM=\sqrt{(6-3)^2+(0-0)^2+(3-0)^2}=3\sqrt{2}.$$

問2　
高さを一つ固定した円柱の断面は半径 $6$ の円であり、平面 $\alpha$ が切り取る小さい側は $x\geqq 3$ の円弧と弦 $AB$ に囲まれた部分である。$OM=3,\ OA=6$ なので、直角三角形 $OMA$ において
$$\cos\angle AOM=\frac{OM}{OA}=\frac12,\qquad \angle AOM=\frac{\pi}{3}.$$
対称性から $\angle AOB=2\pi/3$ である。この円弧と弦で囲まれる部分の面積は、扇形 $OAB$ から三角形 $OAB$ の面積を引いて
$$\frac12\cdot 6^2\cdot\frac{2\pi}{3} -\frac12\cdot AB\cdot OM =12\pi-9\sqrt{3}.$$
この断面が高さ $3$ にわたって続くから、小さい方の部分の体積は
$$3(12\pi-9\sqrt{3})=36\pi-27\sqrt{3}.$$

問3　
$A,B,D$ はいずれも $x-z=3$ を満たす。また $A,B,D$ は一直線上にないので、これらを通る平面は $x-z=3$ である。円柱内では $0\leqq z\leqq 3$ であるから、この平面の下側は $3\leqq x\leqq6$ において $0\leqq z\leqq x-3$ となり、$x<3$ には存在しない。この側は問2の $x\geqq3$ の部分に含まれ、その体積は円柱全体の半分より小さいので、これが立体 $Q$ である。
$x=t$ で切ると、円柱の条件から
$$-\sqrt{36-t^2}\leqq y\leqq\sqrt{36-t^2},$$
また $Q$ の条件から $0\leqq z\leqq t-3$ である。切り口はこの長方形であり、
$$S(t)=2\sqrt{36-t^2}\,(t-3) =2(t-3)\sqrt{36-t^2}.$$

問4　
切り口の面積を $x=t$ について積分すると
$$V=\int_3^6 S(t)\,dt =2\int_3^6 t\sqrt{36-t^2}\,dt -6\int_3^6\sqrt{36-t^2}\,dt.$$
第一の積分は $u=36-t^2$ と置けば
$$\int_3^6 t\sqrt{36-t^2}\,dt =\left[-\frac13(36-t^2)^{3/2}\right]_3^6 =27\sqrt{3}.$$
第二の積分では $t=6\sin\theta$ と置くと、積分範囲は $\pi/6\leqq\theta\leqq\pi/2$ となり、
$$\int_3^6\sqrt{36-t^2}\,dt =36\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =18[\theta+\sin\theta\cos\theta]_{\pi/6}^{\pi/2} =6\pi-\frac{9\sqrt{3}}2.$$
したがって
$$V=2\cdot27\sqrt{3}-6\left(6\pi-\frac{9\sqrt{3}}2\right) =81\sqrt{3}-36\pi.$$
積分区間で $S(t)\geqq0$ なので $V>0$ である。また $Q$ は問2の $x\geqq3$ の部分に含まれ、その体積は $36\pi-27\sqrt{3}<54\pi$ である。円柱全体の体積は $108\pi$ なので、$Q$ は確かに小さい方の部分である。