2東北大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $t>1$ なので $\sqrt t-1>0$。条件 (a) から
$$\frac1x<\sqrt t-1,\qquad 1+\frac1x<\sqrt t,$$
したがって対数関数の増加性より
$$2\log_t\left(1+\frac1x\right)<2\log_t\sqrt t=1.$$
さらに条件 (b) と対数の積の性質を用いると
$$2\log_t(x+1) =2\log_t x+2\log_t\left(1+\frac1x\right) <x+1.$$
よって示された。

(2) $n>0$ なので、底 2 の指数関数の増加性と平方を用いて
$$n\leqq2\log_2 n \quad\text{すなわち}\quad 2^{n/2}\leqq n \quad\text{すなわち}\quad 2^n\leqq n^2.$$
$n=1,2,3,4$ を調べると、条件を満たすのは $n=2,3,4$ である。

$n\geqq5$ では $2^n>n^2$ が成り立つことを示す。n=5 では $32>25$。ある $n\geqq5$ で $2^n>n^2$ とすると、
$$2^{n+1}>2n^2>(n+1)^2,$$
ここで $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1>0$ である。よって数学的帰納法により、すべての $n\geqq5$ で $2^n>n^2$。したがって $n\geqq5$ に解はなく、解は
$$n=2,3,4.$$