7秋田大学 2023年 数学 第7問解答・解説

円の扇形と二等辺三角形から、円弓部分の面積を求める。後半は、各水平断面で帯の中に入る幅を比べて、最大となる位置を決める。

(i)

単位円の中心は原点である。直線 $x=\cos\theta$ の右側の円弓部分は、中心角 $2\theta$ の扇形から二等辺三角形を除いた部分なので、その面積は
$$\theta-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta=\theta-\sin\theta\cos\theta.$$
同様に、直線 $x=-\sin\theta$ の左側の円弓部分の中心角は $\pi-2\theta$ で、その面積は
$$\dfrac{\pi}{2}-\theta-\dfrac{1}{2}\sin 2\theta=\dfrac{\pi}{2}-\theta-\sin\theta\cos\theta.$$
求める部分は円からこの2つの円弓部分を除いたものだから、面積 $S$ は
$$S=\pi-\left(\theta-\sin\theta\cos\theta+\dfrac{\pi}{2}-\theta-\sin\theta\cos\theta\right) =\dfrac{\pi}{2}+\sin 2\theta.$$
$0\leqq2\theta\leqq\pi$ で $\sin2\theta\leqq1$ となり、等号は $2\theta=\dfrac{\pi}{2}$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときである。最大面積は $\dfrac{\pi}{2}+1$。

(ii)

水平線 $y=y_{0}$ における円の断面は、$r=\sqrt{1-y_{0}^{2}}$ とおくと $a-r\leqq x\leqq a+r$ で表される線分である。これと帯 $0\leqq x\leqq1$ の共通部分の長さは $\min(2r,\,1)$ 以下である。$a=\dfrac{1}{2}$ のときは断面の区間が帯の中心に置かれるため、各 $y_{0}$ でこの最大値を達成する。$a\neq\dfrac{1}{2}$ なら、例えば $a<\dfrac{1}{2}$ のとき $a<r<\dfrac{1}{2}$ と選ぶと、長さ $2r<1$ の断面区間が左境界を越え、共通部分の長さは $2r$ より小さい（$a>\dfrac{1}{2}$ の場合は $1-a<r<\dfrac{1}{2}$ として右境界を越える）。よって面積は $a=\dfrac{1}{2}$ のとき最大となる。

このとき円の中心は $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$ であり、2つの直線までの距離はともに $\dfrac{1}{2}$。ここで $\cos\varphi=\dfrac{1}{2}\ \left(0\leqq\varphi\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ を満たす角を $\varphi$ とすると $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$ で、各外側の円弓部分は中心角 $2\varphi=\dfrac{2\pi}{3}$ の扇形から面積 $\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ の三角形を除いたものなので、面積は $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$。従って帯内の最大面積は
$$\pi-2\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$