1北里大学 2024年 数学 第1問解答・解説

各小問で条件の等号成立と定義域を確認し、積分・三次元ベクトル・整数の素因数分解を用いて空欄を順に求める。

(1) 条件から $-2\leqq y\leqq2$ かつ $x\geqq0$ である。したがって $3x+4y-3\geqq4y-3\geqq-11$ であり、$(x,y)=(0,-2)$ で等号となるので最小値は $-11$ である。一方、ベクトルの内積の不等式から
$$3x+4y\leqq\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{x^2+y^2}\leqq10$$
であり、$(x,y)=(6/5,8/5)$ は条件を満たして等号となる。よって最大値は $10-3=7$ である。
次に $U=x^2-y^2,\ V=2xy$ とおくと、
$$3x^2+4xy-3y^2=3U+2V,\qquad U^2+V^2=(x^2+y^2)^2.$$
よって
$$3U+2V\leqq\sqrt{13}\sqrt{U^2+V^2}\leqq4\sqrt{13}.$$
等号条件は $(U,V)$ が $(3,2)$ と同じ向きで $x^2+y^2=4$ となることである。これは $x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta$ とし、$0<\theta<\pi/4$ で $(\cos2\theta,\sin2\theta)=(3/\sqrt{13},2/\sqrt{13})$ を満たす $\theta$ を選べば実現し、$x>0$ である。したがって最大値は $4\sqrt{13}$ である。
(2) $0\leqq x\leqq2\pi$ での2つの部分の面積の和は
$$\int_0^\pi\sin x\,dx+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x)\,dx=2+2=4.$$
また $\sin x-\cos x=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$ だから、曲線間の面積は
$$\int_0^{2\pi}|\sin x-\cos x|\,dx =\sqrt2\int_0^{2\pi}|\sin(x-\pi/4)|\,dx=4\sqrt2.$$
さらに $g(x)=\int_x^{x+\pi/2}|\sin t|\,dt$ は $\pi$ 周期である。$0\leqq x\leqq\pi/2$ では $g(x)=\sin x+\cos x\geqq1$。$\pi/2\leqq x\leqq\pi$ では区間が $t=\pi$ をまたぐので
$$g(x)=\int_x^\pi\sin t\,dt+\int_\pi^{x+\pi/2}(-\sin t)\,dt =2+\cos x-\sin x\geqq2-\sqrt2.$$
後者の等号は $x=3\pi/4$ で成立し、$2-\sqrt2<1$ であるから、最小値は $2-\sqrt2$ である。
(3) $\overrightarrow{AB}=(3,1,2)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,3,1)$ であり、
$$|\overrightarrow{AB}|^2=14,\quad|\overrightarrow{AC}|^2=11,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2.$$
内積と三角形の面積公式より
$$[ABC]=\frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2- (\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2} =\frac12\sqrt{150}=\frac{5\sqrt6}{2}.$$
$\vec n=(1,1,-2)$ とすると $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ だから、平面 $ABC$ の方程式は $x+y-2z=0$ である。$DH$ は $\vec n$ と平行なので $H=D+\lambda\vec n$ とおく。平面上にある条件から
$$(1+\lambda)+\lambda-2(5-2\lambda)=0$$
となり、$\lambda=3/2$、したがって $H=(5/2,3/2,2)$ である。点 $D$ と平面 $ABC$ の距離は
$$\frac{|\vec n\cdot\overrightarrow{AD}|}{|\vec n|} =\frac{|(1,1,-2)\cdot(2,1,6)|}{\sqrt6} =\frac{9}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{2}.$$
よって四面体の体積は
$$\frac13[ABC]\cdot\frac{3\sqrt6}{2}=\frac{15}{2}.$$
(4) $2052=2^2\cdot3^3\cdot19$ である。正の約数の個数は $(2+1)(3+1)(1+1)=24$、総和は
$$(1+2+4)(1+3+9+27)(1+19)=5600.$$
正の整数が奇数個の正の約数をもつのは平方数に限る。$300$ 以下の平方数は $1^2,\ldots,17^2$ の17個なので、約数の個数が偶数である数は $300-17=283$ 個である。