4東北大学 2024年 数学 第4問解答・解説

xyz 空間において、点 $P_{1}(3,-1,1)$ を中心とし半径が $\sqrt{5}$ の球面 $S_{1}$ と、点 $P_{2}(5,0,-1)$ を中心とし半径が $\sqrt{2}$ の球面 $S_{2}$ を考える。

(1) 線分 $P_{1}P_{2}$ の長さを求めよ。

(2) $S_{1}$ と $S_{2}$ が交わりをもつことを示せ。この交わりは円となる。この円を C とし、その中心を $P_{3}$ とする。C の半径および中心 $P_{3}$ の座標を求めよ。

(3) (2) の円 C に対し、C を含む平面を H とする。xy 平面と H の両方に平行で、大きさが 1 のベクトルをすべて求めよ。

(4) 点 Q が (2) の円 C 上を動くとき、Q と xy 平面の距離 d の最大値を求めよ。また、d の最大値を与える点 Q の座標を求めよ。