3東北大学 2024年 数学 第3問解答・解説

カードを 1 回引いたときの文字が $A$ である確率は $\dfrac{2}{3}$、$B$ である確率は $\dfrac{1}{3}$ である。

(1)

$n=2$ では、可である文字列は $AA$、$AB$、$BA$ である。したがって $p_{2}=\dfrac{4}{9}$、$q_{2}=\dfrac{2}{9}$、$r_{2}=\dfrac{2}{9}$ である。

長さ $n+1$ の可な文字列の末尾が $AA$ となるには、長さ $n$ の可な文字列の末尾が $BA$ で、次に $A$ を引けばよい。末尾が $BA$ となるには、長さ $n$ の可な文字列が $B$ で終わり、次に $A$ を引けばよい。末尾が $B$ となるには、長さ $n$ の可な文字列が $A$ で終わり、次に $B$ を引けばよい。可な長さ $n$ の文字列が $A$ で終わる場合、その末尾は $AA$ または $BA$ のいずれかである。よって（$n\geqq2$）
$$p_{n+1}=\dfrac{2}{3}q_{n},\qquad q_{n+1}=\dfrac{2}{3}r_{n},\qquad r_{n+1}=\dfrac{1}{3}(p_{n}+q_{n}).$$

(2)

$S_{n}=p_{n}+2q_{n}+2r_{n}$ とおくと、(1) より
$$S_{n+1}=\dfrac{2}{3}q_{n}+\dfrac{4}{3}r_{n}+\dfrac{2}{3}(p_{n}+q_{n})=\dfrac{2}{3}S_{n}.$$
また $S_{2}=\dfrac{4}{3}$ なので、等比数列の一般項から
$$p_{n}+2q_{n}+2r_{n}=S_{n}=\dfrac{4}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-2}.$$

(3)

$T_{n}=p_{n}+iq_{n}-(1+i)r_{n}$ とおく。(1) を代入すると
$$\begin{aligned}T_{n+1}&=\dfrac{2}{3}q_{n}+\dfrac{2i}{3}r_{n}-\dfrac{1+i}{3}(p_{n}+q_{n})\\&=-\dfrac{1+i}{3}p_{n}+\dfrac{1-i}{3}q_{n}+\dfrac{2i}{3}r_{n}\\&=-\dfrac{1+i}{3}\left\{p_{n}+iq_{n}-(1+i)r_{n}\right\}=-\dfrac{1+i}{3}T_{n}.\end{aligned}$$$$T_{n+1}=\frac{2}{3}{q}_n+\frac{2i}{3}{r}_n-\frac{1+i}{3}(p_n+q_n)$$$$=-\frac{1+i}{3}{p}_n+\frac{1-i}{3}{q}_n+\frac{2i}{3}{r}_n$$$$=-\frac{1+i}{3}\left\{p_n+i{q}_n-(1+i)r_n\right\}=-\frac{1+i}{3}{T}_n.$$
さらに $T_{2}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{2i}{9}-(1+i)\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{9}$ であるから
$$T_{n}=\dfrac{2}{9}\left(-\dfrac{1+i}{3}\right)^{n-2}.$$
ここで $-\dfrac{1+i}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)$ なので、極形式とド・モアブルの定理により
$$p_{n}+iq_{n}-(1+i)r_{n}=\dfrac{2}{9}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^{n-2}\left(\cos\dfrac{5(n-2)\pi}{4}+i\sin\dfrac{5(n-2)\pi}{4}\right).$$

(4)

$p_{n}$、$r_{n}$ は実数であるため、$p_{n}=r_{n}$ は $T_{n}$ の実部が $0$ であることと同値である。(3) で得た係数 $\dfrac{2}{9}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^{n-2}$ は正なので、これは
$$\cos\dfrac{5(n-2)\pi}{4}=0$$
と同値である。余弦が $0$ となるのは角が $\dfrac{\pi}{2}+m\pi$（$m$ は整数）のときだから、$k=n-2$ とおけば $\dfrac{5k}{4}=\dfrac{1}{2}+m$、すなわち $5k=2+4m$ である。これが成り立つための必要十分条件は $k\equiv2\pmod4$ であり、$n=k+2$ より $n\equiv0\pmod4$ を得る。$n\geqq2$ に注意すると、求める条件は $n=4m$（$m$ は正の整数）である。