2徳島大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$n$を2以上の整数とする。複素数平面上の4点を $O(0),A(1),B(i),C(-1)$ とする。$AC$ を直径として点 $B$ を含む半円を考える。弧 $AC$ を $n$ 等分する分点を点 $A$ に近い方から順に $P_1,P_2,\cdots,P_{n-1}$ とし、$A=P_0,\ C=P_n$ とおく。ただし、$i$は虚数単位とする。
(1) $\triangle OP_1P_2$ の面積が $\frac14$ になるとき、点 $P_1$ を表す複素数 $\alpha$ および点 $P_2$ を表す複素数 $\beta$ を求めよ。
(2) $0<k<n$ に対して、$AP_k\leqq CP_k$ を満たす $\triangle AP_kC$ の2辺の長さの和 $AP_k+CP_k$ が $\sqrt6$ になるとき、$\frac{k}{n}$ の値を求めよ。
(3) $0<k<n$ に対して、$\triangle AP_kC$ の面積を $S_k$ とするとき、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_1+S_2+\cdots+S_{n-1}}{n}$ を求めよ。
(4) 点 $B$ を原点 $O$ を中心として $\frac\pi3$ だけ回転した点を表す複素数を $z$ とする。$z^{2023}$ を求めよ。