4山口大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $x\geqq0$ とし、$m=[x],\ r=x-m$ とおく。$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数なので $0\leqq r<1$ であり、$x+1=(m+1)+r$ から $[x+1]=m+1$ である。したがって
$$f(x+1)=r^2-r+\frac16=f(x).$$

(2) $n=1$ のときは (1) より $S(x+1)=f(x+2)=f(x)=S(x)$ である。$n\geqq2$ のとき、和の添字を移し、(1) を用いると
$$\begin{aligned} S\left(x+\frac1n\right) &=\sum_{k=1}^{n}f\left(x+\frac{k+1}{n}\right)\\ &=\sum_{j=2}^{n}f\left(x+\frac jn\right) +f\left(x+\frac{n+1}{n}\right)\\ &=\sum_{j=2}^{n}f\left(x+\frac jn\right) +f\left(x+\frac1n\right) =S(x). \end{aligned}$$$$S\left(x+\frac{1}{n}\right)=\sum _{k=1}^{n}f\left(x+\frac{k+1}{n}\right)$$$$=\sum _{j=2}^{n}f\left(x+\frac{j}{n}\right)+f\left(x+\frac{n+1}{n}\right)$$$$=\sum _{j=2}^{n}f\left(x+\frac{j}{n}\right)+f\left(x+\frac{1}{n}\right)=S(x).$$

(3) $0\leqq x<1/n$ とする。(1) より $f(x+1)=f(x)$ だから、$k=n$ の項を $f(x)$ と書き換えられる。また $j=0,\ldots,n-1$ について $0\leqq x+j/n<1$ なので、その範囲では $[x+j/n]=0$ である。よって
$$S(x)=\sum_{j=0}^{n-1}\left\{\left(x+\frac jn\right)^2-\left(x+\frac jn\right)+\frac16\right\}.$$
ここで
$$\sum_{j=0}^{n-1}j=\frac{n(n-1)}2,\qquad \sum_{j=0}^{n-1}j^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}6.$$
後者は $\sum_{j=0}^{n-1}((j+1)^3-j^3)=n^3$ と
$(j+1)^3-j^3=3j^2+3j+1$ を用い、前者を代入して得られる。これらを代入すると
$$\begin{aligned} S(x) &=nx^2+x(n-1)+\frac{(n-1)(2n-1)}{6n} -nx-\frac{n-1}{2}+\frac n6\\ &=nx^2-x+\frac1{6n}. \end{aligned}$$$$S(x)=n{x}^2+x(n-1)+\frac{(n-1)(2n-1)}{6n}-nx-\frac{n-1}{2}+\frac{n}{6}$$$$=n{x}^2-x+\frac{1}{6n}.$$
したがって $S(x)=0$ は
$$(nx)^2-nx+\frac16=0$$
と同値である。これを解くと $nx=(1\pm1/\sqrt3)/2$ を得る。$0<1/\sqrt3<1$ なので、二つの値はいずれも $0<nx<1$ を満たし、指定範囲内にある。ゆえに
$$x=\frac{1\pm1/\sqrt3}{2n}.$$

(4) $x\geqq0$ に対して $m=[nx]$ とおくと、$m$ は0以上の整数であり、$r=x-\frac mn$ は $0\leqq r<1/n$ を満たす。(2) を $m$ 回用いて $S(x)=S(r)$ だから、(3) の解を各周期だけ移したものがすべての解である。したがって
$$x=\frac{m+(1\pm1/\sqrt3)/2}{n}\quad(m=0,1,2,\ldots).$$