2名古屋市立大学 2023年 数学 第2問解答・解説

あいこを「全員同じ手」または「3種類すべてが出る」として数える。2回目の確率は、初回のあいこと、2種類の手が出て2～4人が勝ち残る場合に分けて合計する。

(1)　 $n\geqq2$ とする。各人は3種類の手から独立に1つずつ出すので、出方は全部で $3^n$ 通りあり、いずれも同様に確からしい。勝者が1人に決まるには、2種類の手だけが出て、勝つ手を出す人が1人であればよい。勝つ手の選び方は3通り、その手を出す人の選び方は $n$ 通りであり、残りの人は全員それに負ける手を出す。したがって
$$p_n=\frac{3n}{3^n}=\frac{n}{3^{n-1}}.$$

(2)　 あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合、または3種類の手がすべて出る場合である。前者は3通り。後者は、全 $3^n$ 通りから、少なくとも1種類が出ない場合を除いて数える。出ない手を指定すると残り2種類で $2^n$ 通り、2種類の手が出ない場合は残る手が1種類で1通りだから、後者は
$$3^n-3\cdot2^n+3$$
通りである。両者を合わせて
$$q_n=\frac{3+(3^n-3\cdot2^n+3)}{3^n}=\frac{3^n-3\cdot2^n+6}{3^n}.$$

(3)　 5人の1回目があいこなら敗者はいないので、5人全員で2回目を行う。(2)の数え上げに $n=5$ を代入すると、この場合の1回目の出方は
$$3^5-3\cdot2^5+6=153$$
通りである。1回目に2種類の手だけが出た場合は、勝つ手を出した人数を $k$ とする。$k=1$ なら1回目に勝者が決まるので除く。$k=2,3,4$ なら敗者を除いた $k$ 人で2回目を行い、1回目の出方はそれぞれ $3\,{}_{5}\mathrm{C}_{k}$ 通りである。2回目に勝者が1人に決まる確率は(1)より $p_k=k/3^{k-1}$ である。よって求める確率は
$$\frac{153p_5+3\,{}_{5}\mathrm{C}_{2}p_2+3\,{}_{5}\mathrm{C}_{3}p_3+3\,{}_{5}\mathrm{C}_{4}p_4}{3^5} =\frac{153\cdot\frac5{81}+30\cdot\frac23+30\cdot\frac13+15\cdot\frac4{27}}{243} =\frac{\frac{85}{9}+20+10+\frac{20}{9}}{243} =\frac{125}{729}.$$