VII防衛医科大学校 2022年 数学 第VII問解答・解説

$A$ さんと $B$ さんが1枚ずつコインを持ち、各時刻 $t\ (t=1,2,3,\cdots)$ にそれぞれが以下の試行を1回行う。
試行：コインを1枚投げ、表が出たら2点、裏が出たら1点を獲得する。
少なくともどちらかの合計点が8点以上になったらその時刻で試行を終了し、その時刻におけるそれぞれの合計点をそれぞれの最終得点とする。最終得点が高い方を勝者とする。
ただし、ある時刻でどちらかの合計点が初めて4点以上になり、そのときもう一方の合計点が4点未満だった場合、点数が低い方はその時刻で試行を終了し、その時刻までの合計点を最終得点とする。点数が高い方はそのまま試行を継続し、合計点が8点以上になった時刻に試行を終了し、その時刻までの合計点を最終得点とする。
（例1）$A$ さんが時刻1で表、時刻2で裏、時刻3で表を出し、$B$ さんが時刻1で表、時刻2で裏、時刻3で裏を出した場合、$A$ さん、$B$ さんともに時刻3で初めて4点以上になったので、両者とも試行を継続する。$A$ さんが時刻4で表、時刻5で表を出し、$B$ さんが時刻4で裏、時刻5で裏を出した場合、時刻5で $A$ さんが初めて8点以上になったので両者試行を終了し、$A$ さんの最終得点は9点、$B$ さんの最終得点は6点となる。
（例2）$A$ さんが時刻1で表、時刻2でも表を出し、$B$ さんが時刻1で表、時刻2で裏を出した場合、$A$ さんが初めて4点以上になった時刻2で、$B$ さんは4点未満なので、$B$ さんは試行を終了し、$B$ さんの最終得点は3点となる。$A$ さんはその後も試行を継続し、時刻3で表、時刻4で裏、時刻5で表を出した場合、時刻5で初めて8点以上になったので試行を終了し、$A$ さんの最終得点は9点となる。
このとき、以下の問に答えよ。ただし、(1)から(4)の答えは分子が奇数、分母が2の累乗のままの分数で表せ。
(1) $A$ さん、$B$ さんそれぞれの合計得点が同時刻に初めて4点以上になる確率はいくらか。
(2) $A$ さん、$B$ さんそれぞれの合計得点が同時刻に初めて4点以上になり、その時刻で $A$ さんの合計得点が5点、$B$ さんの合計得点が4点である確率はいくらか。
(3) $A$ さん、$B$ さんそれぞれの合計得点が同時刻に両方ちょうど4点になり、$A$ さんの合計得点が初めて8点以上になった時刻に、$B$ さんの合計得点が8点未満である確率はいくらか。
(4) $A$ さんの最終得点が $B$ さんの最終得点よりちょうど2点多くなる確率はいくらか。