II関西医科大学 2023年 数学 第II問解答・解説

(1)

$\{a_{n}\}$の公差を$d$とすると、等差数列の一般項より$a_{n}=2+(n-1)d$である。条件$a_{2k+1}=0$を用いて
$$0=2+2kd,\qquad d=-\dfrac{1}{k}.$$
したがって$a_{2}=2-\dfrac{1}{k}$、$a_{k+1}=2+k\left(-\dfrac{1}{k}\right)=1$である。

(2)

$\{b_{n}\}$の公差を$e$とすると$b_{n}=(n-1)e$である。条件$a_{k+1}=b_{k+1}$と(1)の結果から
$$ke=b_{k+1}=a_{k+1}=1,\qquad e=\dfrac{1}{k}.$$
よって$b_{2}=\dfrac{1}{k}$、$b_{2k+1}=2ke=2$である。

(3)

$j\geqq1$に対して
$$a_{j+1}=2-\dfrac{j}{k}=\dfrac{2k-j}{k},\qquad b_{j+1}=\dfrac{j}{k}$$
であるから、
$$\dfrac{a_{j+1}}{b_{j+1}}=\dfrac{2k-j}{j}.$$
$k$は自然数なので$b_{j+1}=\dfrac{j}{k}\ne0$であり、漸化式の商は常に定義される。したがって、漸化式を順に用いると
$$c_{n}=\dfrac{2k-1}{1}\cdot\dfrac{2k-2}{2}\cdots\dfrac{2k-(n-1)}{n-1}$$
である。特に$1\leqq n\leqq2k$では
$$c_{n}=\dfrac{(2k-1)(2k-2)\cdots(2k-n+1)}{(n-1)!}=\dfrac{(2k-1)!}{(2k-n)!\,(n-1)!}={}_{2k-1}\mathrm{C}_{n-1}$$
となる（$n=1$のときは$c_{1}=1$とする）。
よって$c_{k}={}_{2k-1}\mathrm{C}_{k-1}$である。また
$$c_{2k}={}_{2k-1}\mathrm{C}_{2k-1}=1$$
である。

(4)

$1\leqq n\leqq2k$で$c_{n}={}_{2k-1}\mathrm{C}_{n-1}$である。$N=2k-1$、$m=n-1$とおくと、隣り合う二項係数の比は
$$\dfrac{{}_{N}\mathrm{C}_{m+1}}{{}_{N}\mathrm{C}_{m}}=\dfrac{N-m}{m+1}=\dfrac{2k-1-m}{m+1}$$
である。これは$m<k-1$で1より大きく、$m=k-1$で1、$m>k-1$で1より小さい。よって最大となるのは$m=k-1$、$k$、すなわち$n=k$、$k+1$である。さらに$c_{2k+1}=0$（積に$j=2k$の因子が入るため）であり、以後も漸化式から$c_{n}=0$なので、これらが全体での最大位置である。

(5)

(3)の式を使い、$m=r-1$と置き換えると
$$\sum_{r=1}^{2k}c_{r}=\sum_{m=0}^{2k-1}{}_{2k-1}\mathrm{C}_{m}=(1+1)^{2k-1}=2^{2k-1}$$
である。ここでは二項定理を用いた。