I慶應義塾大学 2024年 数学 第I問解答・解説

(1) 外心を $C_0(p,q)$ とおく。$C_0O=C_0A$ より $p=\frac32$ である。また $C_0O=C_0B$ を平方して整理すると $p+\sqrt3q=2$ だから、$q=\frac{\sqrt3}{6}$ である。

辺の長さは $OA=3$、$OB=2$、$AB=\sqrt7$ である。内心は各頂点をその対辺の長さで重み付けした点なので、
$$I=\frac{\sqrt7O+2A+3B}{\sqrt7+2+3} =\left(\frac{9}{5+\sqrt7},\frac{3\sqrt3}{5+\sqrt7}\right) =\left(\frac{5-\sqrt7}{2},\frac{\sqrt3(5-\sqrt7)}6\right).$$

(2) 楕円を微分すると $\frac{2x}{3}+y\frac{dy}{dx}=0$ なので、$(X,Y)$ における接線の傾きは $-\frac{2X}{3Y}$ である。この接線は
$$\frac{Xx}{3}+\frac{Yy}{2}=1$$
と表せるから、座標軸との交点の座標はそれぞれ $\frac3X$、$\frac2Y$ である。よって三角形の面積は $\frac{3}{XY}$ となり、これを最小にするには $XY$ を最大にすればよい。
$$1=\frac{X^2}{3}+\frac{Y^2}{2}\geqq 2\sqrt{\frac{X^2Y^2}{6}}=\frac{2XY}{\sqrt6}$$
より $XY\leqq\sqrt{\frac32}$。等号は $\frac{X^2}{3}=\frac{Y^2}{2}=\frac12$ のときに成立する。第1象限を考えているので $(X,Y)=(\sqrt{\frac32},1)$、最小面積は $\frac{3}{\sqrt{3/2}}=\sqrt6$ である。したがって接線の傾きは $-\frac{\sqrt6}{3}$ である。

(3) $y=\cos x\sin2x=2\sin x\cos^2x$ である。$u=\sin x$ とおくと $0\leqq u\leqq1$ で、関数値は $2u(1-u^2)$ となる。これを微分すると $2-6u^2$ であり、最大となるのは $u=\frac1{\sqrt3}$ のときである。端点での値は $0$ だから、最大値は $\frac{4}{3\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{9}$ である。

グラフはこの区間で非負なので、求める面積は
$$\int_0^{\pi/2}2\sin x\cos^2x\,dx =\left[-\frac23\cos^3x\right]_0^{\pi/2}=\frac23.$$