IV慶應義塾大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

平面に垂直な方向へ射影し，等角条件を正接の距離比に直す。正方形では到達辺を場合分けし，立方体では射影直線と高さを媒介変数で表して境界到達を調べる。

(1)　 各点での等角条件を，正方形の辺に沿う距離と辺に垂直な距離の比に直す。角は鋭角なので，いずれも正接はこれらの距離の比で表せる。

$P_1$では
$$\tan\angle P_0P_1A_1=\frac1{p_1},\qquad \tan\angle P_2P_1B_1=\frac{1-q_2}{1-p_1}.$$
したがって$p_1(2-q_2)=1$である。$P_2$では
$$\tan\angle P_1P_2A_2=\frac{1-p_1}{1-q_2},\qquad \tan\angle P_3P_2B_2=\frac{1-p}{q_2}.$$
最初の関係から$(1-p_1)/(1-q_2)=p_1$なので，$p_1q_2=1-p$を得る。これらを解くと
$$p_1=\frac{2-p}{2},\qquad q_2=\frac{2(1-p)}{2-p}.$$

$P_3$で，$P_4$が左辺上にある間は
$$\tan\angle P_2P_3B_3=\frac{q_2}{1-p},\qquad \tan\angle P_4P_3A_3=\frac{q_4}{p}$$
だから$q_4=pq_2/(1-p)=2p/(2-p)$である。この値が1以下である条件は$p\leqq2/3$である。$p>2/3$では，$P_3$から左上へ進む直線が左辺に着く前に上辺に達し，水平移動距離は$(1-p)/q_2=(2-p)/2$となる。よって上辺との交点は$p_4=p-(2-p)/2=(3p-2)/2,\ q_4=1$である。したがって$\boxed{\text{う}}=2/3$であり，残りの空欄も同じ計算で求まる。$p=2/3$では両式とも$P_4=(0,1)$を与える。

(2)(i)(ii)　 各$Q_i$を含む平面は対応する立方体の面に垂直なので，面に垂直な方向を含む。したがって，その面への射影では$Q_{i-1},Q_i,Q_{i+1}$の射影が，面との交線に沿って一直線に並ぶ。等角条件では，交線に沿った射影は$Q_i$から反対向きに伸びる。以下，その交線方向の距離を$D$，面に垂直な距離を$N$とすると，対応する角の正接は$N/D$である。

まず$Q_1$を通る平面は$z=1$の面に垂直である。$xy$平面への射影で$Q_0,Q_1,Q_2$は一直線上にあり，$Q_1$の射影は$Q_0$と$Q_2$の間にある。よって$a_1=a_2b_1$である。直線$(0,0,0),(a_1,b_1,0)$と$y=1$との交点は
$$\left(\frac{a_1}{b_1},1,0\right)=(a_2,1,0)$$
だから，$\boxed{\text{か}}=a_1/b_1$である。

$L=\sqrt{a_2^2+1}$とする。$Q_1$から$Q_0,Q_2$への射影距離はそれぞれ$b_1L,(1-b_1)L$，対応する$z$方向の距離は$1,1-c_2$である。そこで$Q_1$の等角条件から
$$\frac1{b_1L}=\frac{1-c_2}{(1-b_1)L},\qquad b_1=\frac1{2-c_2}. \tag{1}$$

次に$Q_2$を通る平面を$y=1$に射影する。$xz$平面上で$Q_1,Q_2,Q_3$の射影は一直線上にあり，$Q_2$は両端の射影の間にある。$Q_1,Q_3$の射影距離をそれぞれ$D_1,D_3$とすると，$z$座標から
$$\frac{D_3}{D_1}=\frac{c_2}{1-c_2}.$$
面に垂直な距離は$Q_1$で$1-b_1$，$Q_3$で$1-b$だから，等角条件は$(1-b_1)/D_1=(1-b)/D_3$である。(1)を代入して解くと
$$c_2=\frac{2(1-b)}{2-b},\qquad b_1=\frac{2-b}{2}.$$

さらに$xz$平面での一直線条件より
$$a-a_2=-\frac{D_3}{D_1}(a_1-a_2).$$
ここで$a_1=a_2b_1$および$D_3/D_1=2(1-b)/b$を用いると$a=a_2(2-b)$だから
$$a_2=\frac{a}{2-b},\qquad a_1=\frac a2.$$
これで$\boxed{\text{き}}=a/2,\ \boxed{\text{く}}=(2-b)/2,\ \boxed{\text{け}}=a/(2-b),\ \boxed{\text{こ}}=2(1-b)/(2-b)$を得る。

最後に$Q_3$を通る平面は$z=0$の面に垂直である。$xy$平面への射影で$Q_2,Q_3,Q_4$は一直線上にあり，$Q_2,Q_4$の射影は$Q_3$から反対向きに伸びる。$Q_2$の射影と$Q_3$との差は
$$(a_2-a,1-b)=(1-b)\left(-\frac{a}{2-b},1\right).$$
$s$を$Q_3$から$Q_4$へ射影が進むときの$y$座標の減少量とすれば，射影距離は$s\sqrt{1+(a/(2-b))^2}$である。$Q_3Q_2$の$z$方向の距離は$c_2$，射影距離は$(1-b)\sqrt{1+(a/(2-b))^2}$であるから，等角条件より$Q_4$の高さは$c_4=2s/(2-b)$となる。よってこの直線上の点は
$$(a_4,b_4,c_4)=\left(a+\frac{a}{2-b}s,\ b-s,\ \frac{2s}{2-b}\right). \tag{2}$$

立方体内で$s$が増えると，$x=1,y=0,z=1$に達する値はそれぞれ
$$s_x=\frac{(1-a)(2-b)}a,\qquad s_y=b,\qquad s_z=\frac{2-b}{2}.$$
$Q_4$は立方体の面上にあるので，最初に達する境界である。$a_4=1,b_4=0$となるには$s_x=s_y=b$が必要であり，これは$b=2(1-a)$と同値である。さらにそのとき$s_y\leqq s_z$は$b\leqq2/3$，すなわち$a\geqq2/3$と同値である。この条件なら(2)から$c_4=2b/(2-b)=2(1-a)/a$となる。したがって$\boxed{\text{さ}}=2/3,\ \boxed{\text{し}}=2(1-a),\ \boxed{\text{す}}=2(1-a)/a$である。

また$z=1$に最初に達する条件$s_z\leqq s_y,s_x$は$b\geqq2/3$かつ$a\leqq2/3$である。このとき(2)に$s=s_z=(2-b)/2$を代入すると
$$(a_4,b_4,c_4)=\left(\frac{3a}{2},\frac{3b}{2}-1,1\right).$$
ゆえに$\boxed{\text{せ}}=3a/2,\ \boxed{\text{そ}}=3b/2-1$である。