2獨協医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

球面の式を平方完成すると
$$(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=14$$
となる。中心を $O(2,-1,0)$、半径を $\sqrt{14}$ とする。
(1) 直線 $\ell$ 上の点を $P(t)=(3+t,4+t,6+2t)$ とおく。これを球面の式に代入すると
$$(3+t)^2+(4+t)^2+(6+2t)^2-4(3+t)+2(4+t)-9=0,$$
すなわち $6t^2+36t+48=0$、したがって $(t+2)(t+4)=0$ である。よって $t=-4,-2$。それぞれの点は $(-1,0,-2)$、$(1,2,2)$ で、前者の $x$ 座標は負、後者は正だから、$B=(-1,0,-2),\ C=(1,2,2)$ である。
(2) $\overrightarrow{AB}=(-4,-2,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-2,0,4)$ とする。平面 $ABC$ の法線ベクトルを $\vec n=(p,q,r)$ とすると、内積がともに $0$ なので
$$-4p-2q=0,\qquad -2p+4r=0.$$
ここで $p=-2$ とすれば $q=4,\ r=-1$ となり、$\vec n=(-2,4,-1)$ を得る。このベクトルの長さは $\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$ で、$y$ 成分は正である。したがって求める単位ベクトルは $\dfrac{1}{\sqrt{21}}(-2,4,-1)$ である。
(3) 平面 $ABC$ の方程式は、法線ベクトルと点 $A$ を用いて
$$-2x+4y-z=-2\cdot3+4\cdot2-(-2)=4$$
と表せる。外心 $J=(x,y,z)$ はこの平面上にあり、$JA=JB=JC$ を満たす。平方距離を比較すると、$|JA|^2=|JB|^2$ から $2x+y=3$、$|JA|^2=|JC|^2$ から $x-2z=2$ を得る。これらと $-2x+4y-z=4$ を解くと
$$x=\frac67,\qquad y=\frac97,\qquad z=-\frac47.$$
実際、
$$|JA|^2=|JB|^2=|JC|^2=\frac{50}{7}$$
となるので、$J=\left(\frac67,\frac97,-\frac47\right)$ である。
(4) まず三角形 $ABC$ の面積を求める。$|AB|=|AC|=2\sqrt5$、また $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8$ だから、$A$ の角を $\theta$ とすれば $\cos\theta=\dfrac{8}{(2\sqrt5)(2\sqrt5)}=\dfrac25$。よって $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{21}}5$ であり、
$$[ABC]=\frac12|AB||AC|\sin\theta=2\sqrt{21}.$$
平面の法線ベクトルは $\vec n=(-2,4,-1)$、その長さは $\sqrt{21}$ である。中心 $O$ から平面 $-2x+4y-z=4$ までの距離は
$$\frac{|(-2)\cdot2+4\cdot(-1)-0-4|}{\sqrt{21}}=\frac{12}{\sqrt{21}}.$$
球面上の点 $D$ を $D=O+\vec u$、$|\vec u|=\sqrt{14}$ と書くと、平面からの符号付き距離は
$$\frac{-12+\vec n\cdot\vec u}{\sqrt{21}}.$$
内積の絶対値は $|\vec n\cdot\vec u|\leqq \sqrt{21}\sqrt{14}$ だから、平面からの距離の最大値は $\dfrac{12}{\sqrt{21}}+\sqrt{14}$ である。この値は $\vec u=-\dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{21}}\vec n$ のときに実現し、この点は平面上にない。よって四面体の体積の最大値は
$$\frac13\cdot2\sqrt{21}\left(\sqrt{14}+\frac{12}{\sqrt{21}}\right)=8+\frac{14\sqrt6}{3}.$$