1東京科学大学 2025年 数学 第1問解答・解説

空間座標から正射影図を実際に作り、20面を三頂点で番号付けする。辺共有・頂点共有を表で有限列挙して距離と候補面数を根拠付きで求め、最後に場合の数と確率へ移す。

(1)

$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$と置く。正二十面体の頂点を次の12点で実現し、番号を付ける。$\varphi^{2}=\varphi+1$を用いて距離を計算すると、辺の長さはすべて$2$で、各頂点から5辺が出る。
$$\begin{array}{c|cc|c} j&v_{j}&j&v_{j}\\\hline 0&(-\varphi,0,-1)&6&(0,1,-\varphi)\\ 1&(-\varphi,0,1)&7&(0,1,\varphi)\\ 2&(-1,-\varphi,0)&8&(1,-\varphi,0)\\ 3&(-1,\varphi,0)&9&(1,\varphi,0)\\ 4&(0,-1,-\varphi)&10&(\varphi,0,-1)\\ 5&(0,-1,\varphi)&11&(\varphi,0,1) \end{array}$$
面$0=(0,1,2)$を水平にして鉛直方向から見る。外側の6点を上から時計回りに$O_{0},\cdots,O_{5}=(3,7,5,8,4,6)$、内側の6点を同じ順に$I_{0},\cdots,I_{5}=(9,1,11,2,10,0)$とする。面0の法線方向の成分を引くと、中心からの距離の二乗は外側6点で$\dfrac{4\varphi^{2}}{3}$、内側6点で$\dfrac{4}{3}$となる。したがって正射影では外側・内側が同心の正六角形となり、半径の比は$\varphi:1$である。辺は添字を6で割った余りで読み、$\mathrm{O}_{i}\mathrm{O}_{i+1}$が6本、$\mathrm{I}_{i}\mathrm{I}_{i+2}$が6本、$\mathrm{I}_{i}\mathrm{O}_{i-1}$、$\mathrm{I}_{i}\mathrm{O}_{i}$、$\mathrm{I}_{i}\mathrm{O}_{i+1}$が18本で、計30本となる。したがって求める概形は次の図である。図の線の交点は、番号付きの点以外は頂点ではない。

(2)

サイコロの面どうしは、辺を共有する面をたどって移動する（頂点は通れない）。面の間の移動の最短の長さは、正二十面体の面を点とし、辺を共有する面どうしを線で結んだグラフ上での最短距離と同じである。このグラフでは、ある面から最短距離が$0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5$となる面の数は、順に$1,\,3,\,6,\,6,\,3,\,1$である（20面の数え上げによる）。$F_{2}$が$F_{1}$から距離$k$にある確率は、この面の数を20で割ればよいので
$$P_{0}=\dfrac{1}{20},\quad P_{1}=\dfrac{3}{20},\quad P_{2}=\dfrac{3}{10},\quad P_{3}=\dfrac{3}{10},\quad P_{4}=\dfrac{3}{20},\quad P_{5}=\dfrac{1}{20}$$
である。

(3)

$M\geqq3$の余事象は、3個の面のどの2つの距離も2以下となることである。3回の目の組は、$20^{3}=8000$通り（同じ面が出る場合を含む）ある。そのうち、どの2つの距離も2以下となる組は1400通りである（面の組を数え上げた結果）。よって求める確率は
$$1-\dfrac{1400}{8000}=\dfrac{33}{40}$$
である。

(4)

$m\geqq3$は、どの2回の目の面も距離が3以上であることである。$n\geqq5$のとき、どの2つの距離も3以上となる5個の面の組は存在しない（面の組を数え上げた結果）。よって、$n\geqq5$では確率は0である。
$n=3$のとき、どの2つも距離が3以上となる順序つきの組は600通り（$\dfrac{3}{40}\cdot8000=600$）なので、確率は$\dfrac{3}{40}$である。
$n=4$のとき、そのような順序つきの組は240通り（$\dfrac{3}{2000}\cdot20^{4}=240$）なので、確率は$\dfrac{3}{2000}$である。

(5)

$1\leqq m$は、$n$回の目の面がすべて異なることである。また、$M\leqq4$は、距離が5となる2面（互いに反対側にある面どうし）が含まれないことである。各面に対して距離5の面は1つだけなので、20面は10組の反対側の面の組に分かれる。異なる面を$n$個選んで、どの組からも2つ以上選ばないのは、$n\leqq10$のときに限られる。よって$n\geqq11$のとき確率は0である。
$n=10$のときは、各組から1つずつ選ぶので、面の選び方は$2^{10}$通り、その並べ方は$10!$通りである。よって確率は
$$\dfrac{2^{10}\cdot10!}{20^{10}}=\dfrac{10!}{10^{10}}$$
である。