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信州大学／2024年度

1信州大学 2024年 数学 第1問解答・解説

微分・積分の考え図形と方程式

難易度捨て可 レベル 5/10 目安 25分編集部の評価

対象経法・医（保健学科）医学科は解かない

1問題

信州大学2024年度第1問
座標平面上の放物線 C:y=x2C:y=x^{2} 上に異なる 2 つの動点 P(p, p2)\mathrm{P}(p,\,p^{2})、Q(q, q2)\mathrm{Q}(q,\,q^{2}) をとる。ただし、実数 p, qp,\,q は p<qp<q、pq≠0pq\neq0 を満たすとする。P\mathrm{P} における CC の接線を lPl_{\mathrm{P}}、P\mathrm{P} を通り lPl_{\mathrm{P}} に垂直な直線を nPn_{\mathrm{P}}、Q\mathrm{Q} における CC の接線を lQl_{\mathrm{Q}}、Q\mathrm{Q} を通り lQl_{\mathrm{Q}} に垂直な直線を nQn_{\mathrm{Q}} とする。また、lPl_{\mathrm{P}} と lQl_{\mathrm{Q}} の交点を R\mathrm{R}、nPn_{\mathrm{P}} と nQn_{\mathrm{Q}} の交点を S\mathrm{S} とし、∠PSQ=90∘\angle\mathrm{PSQ}=90^{\circ} であるとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 直線 RS\mathrm{RS} と yy 軸が平行であることを示せ。

(2) 四角形 PRQS\mathrm{PRQS} の面積 TT を qq を用いて表せ。また、TT の最小値を求めよ。

出典：信州大学 2024年度 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    R, S\mathrm{R},\,\mathrm{S} の xx 座標がともに p+q2\dfrac{p+q}{2} になることから示せる（証明は解答を参照）。
  • (2)
    T=12(q+14q)3T=\dfrac{1}{2}\left(q+\dfrac{1}{4q}\right)^{3}、最小値 12\dfrac{1}{2}（q=12q=\dfrac{1}{2} のとき）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

∠PSQ=90∘\angle\mathrm{PSQ}=90^{\circ} は 2 本の法線が垂直、すなわち 2 本の接線が垂直ということで、4pq=−14pq=-1 となる。四角形 PRQS\mathrm{PRQS} は 4 つの角がすべて直角なので長方形である。面積は PR⋅RQ\mathrm{PR}\cdot\mathrm{RQ} で、pq=−14pq=-\dfrac{1}{4} を使うと (q−p)3(q-p)^{3} の形にまとまる。

解答

lP:y=2px−p2l_{\mathrm{P}}:y=2px-p^{2}、lQ:y=2qx−q2l_{\mathrm{Q}}:y=2qx-q^{2} より R(p+q2, pq)\mathrm{R}\left(\dfrac{p+q}{2},\,pq\right)。

nP:y=−12px+p2+12n_{\mathrm{P}}:y=-\dfrac{1}{2p}x+p^{2}+\dfrac{1}{2}、nQ:y=−12qx+q2+12n_{\mathrm{Q}}:y=-\dfrac{1}{2q}x+q^{2}+\dfrac{1}{2} より、x(12q−12p)=q2−p2x\left(\dfrac{1}{2q}-\dfrac{1}{2p}\right)=q^{2}-p^{2} を解いて
S(−2pq(p+q), p2+pq+q2+12). \mathrm{S}\left(-2pq(p+q),\ p^{2}+pq+q^{2}+\dfrac{1}{2}\right).
∠PSQ=90∘\angle\mathrm{PSQ}=90^{\circ} より nP⊥nQn_{\mathrm{P}}\perp n_{\mathrm{Q}}、したがって lP⊥lQl_{\mathrm{P}}\perp l_{\mathrm{Q}} で、2p⋅2q=−12p\cdot2q=-1、すなわち pq=−14pq=-\dfrac{1}{4}。

(1)

pq=−14pq=-\dfrac{1}{4} より S\mathrm{S} の xx 座標は p+q2\dfrac{p+q}{2} で、R\mathrm{R} の xx 座標と等しい。また R\mathrm{R} の yy 座標は −14-\dfrac{1}{4}、S\mathrm{S} の yy 座標は p2+q2+14>0p^{2}+q^{2}+\dfrac{1}{4}>0 で、R≠S\mathrm{R}\neq\mathrm{S}。よって直線 RS\mathrm{RS} は yy 軸に平行である。

(2)

∠RPS=∠RQS=∠PRQ=∠PSQ=90∘\angle\mathrm{RPS}=\angle\mathrm{RQS}=\angle\mathrm{PRQ}=\angle\mathrm{PSQ}=90^{\circ} だから、四角形 PRQS\mathrm{PRQS} は長方形で、T=PR⋅RQT=\mathrm{PR}\cdot\mathrm{RQ} である。
PR→=(q−p2, p(q−p))=q−p2(1, 2p) \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\left(\dfrac{q-p}{2},\ p(q-p)\right)=\dfrac{q-p}{2}(1,\,2p)
より PR=q−p21+4p2\mathrm{PR}=\dfrac{q-p}{2}\sqrt{1+4p^{2}}、同様に RQ=q−p21+4q2\mathrm{RQ}=\dfrac{q-p}{2}\sqrt{1+4q^{2}}。ここで
(1+4p2)(1+4q2)=1+4(p2+q2)+16p2q2=4(p2+q2+12)=4(q−p)2 (1+4p^{2})(1+4q^{2})=1+4(p^{2}+q^{2})+16p^{2}q^{2}=4\left(p^{2}+q^{2}+\dfrac{1}{2}\right)=4(q-p)^{2}
（−2pq=12-2pq=\dfrac{1}{2} を使った）だから
T=(q−p)24⋅2(q−p)=(q−p)32. T=\dfrac{(q-p)^{2}}{4}\cdot2(q-p)=\dfrac{(q-p)^{3}}{2}.
pq<0pq<0 かつ p<qp<q より p<0<qp<0<q で、p=−14qp=-\dfrac{1}{4q} だから
T=12(q+14q)3. T=\dfrac{1}{2}\left(q+\dfrac{1}{4q}\right)^{3}.
相加平均と相乗平均の関係より q+14q≧214=1q+\dfrac{1}{4q}\geqq2\sqrt{\dfrac{1}{4}}=1（等号は q=12q=\dfrac{1}{2}）。よって TT の最小値は 12\dfrac{1}{2} である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線の方程式
  • 法線の方程式
  • 相加平均と相乗平均の関係

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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