2金沢医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

金沢医科大学 2022年度 一般選抜（前期）1日目 数学 2

曲線①を $f(x)=-x^3+6x^2+ax+b$、接線②を $y=x-2$ と表す。$P(1,-1)$ を通るので
$$-1+6+a+b=-1\quad\text{より}\quad a+b=-6.$$
接線②の傾きは1であるから $f'(1)=1$。$f'(x)=-3x^2+12x+a$ より $9+a=1$、従って
$$\boxed{a=-8,\quad b=2}.$$
以後 $f(x)=-x^3+6x^2-8x+2$。

P以外の共有点と①・②の間の面積

$$f(x)-(x-2)=-x^3+6x^2-9x+4=(x-1)^2(4-x).$$
共有点の $x$ 座標は1（接点）と4なので
$$\boxed{Q=(4,2)}.$$
曲線と直線の差は $1\leqq x\leqq4$ で非負。よって囲まれた部分の面積は
$$\int_1^4(x-1)^2(4-x)\,dx =\int_0^3u^2(3-u)\,du =\left[u^3-\frac{u^4}{4}\right]_0^3 =\boxed{\frac{27}{4}}.$$

Qにおける接線と曲線の間の面積

$$f'(4)=-8,$$
ゆえにQでの接線は $y-2=-8(x-4)$、すなわち $y=-8x+34$。曲線との差を因数分解すると
$$(-8x+34)-f(x)=x^3-6x^2+32=(x-4)^2(x+2).$$
共有点は $x=-2,4$ であり、この区間では接線が曲線以上にある。したがって面積は
$$\int_{-2}^4(x-4)^2(x+2)\,dx =\int_0^6u(6-u)^2\,du =\boxed{108}.$$

②に平行な別の接線と四角形PQRS

平行な接線の傾きは1なので、
$$f'(x)=1 \quad\text{すなわち}\quad -3x^2+12x-9=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-1)(x-3)=0.$$
P以外の点では $x=3$、$f(3)=5$ より $R=(3,5)$。この点での接線は
$$y-5=x-3,\qquad \boxed{x-y+2=0}.$$
これと曲線①の交点は
$$f(x)-(x+2)=-x(x-3)^2=0$$
より $R=(3,5)$ と $S=(0,2)$。

四角形PQRSの面積を座標の公式で求める。
$$\begin{aligned} [ PQRS ] &=\frac12\left| (1\cdot2+4\cdot5+3\cdot2+0\cdot(-1)) -((-1)\cdot4+2\cdot3+5\cdot0+2\cdot1)\right|\\ &=\boxed{12}. \end{aligned}$$$$[PQRS]=\frac{1}{2}\left|(1\cdot 2+4\cdot 5+3\cdot 2+0\cdot (-1))-((-1)\cdot 4+2\cdot 3+5\cdot 0+2\cdot 1)\right|$$$$=\boxed{12}.$$