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信州大学／2024年度

2信州大学 2024年 数学 第2問解答・解説

指数関数・対数関数

難易度捨て可 レベル 5/10 目安 25分編集部の評価

対象経法・医（保健学科）医学科は解かない

1問題

信州大学2024年度第2問
実数 aa は a>1a>1 を満たすとする。このとき、正の実数 xx に対し、x=a(1−1a)yx=a\left(1-\dfrac{1}{a}\right)^{y} を満たす実数 yy がただ一つ定まる。この yy を y=f(x)y=f(x) と表すとき、次の問いに答えよ。

(1) u, vu,\,v を正の実数とするとき、f(u)+f(v)−f(uv)f(u)+f(v)-f(uv) の値を aa を用いて表せ。

(2) p, q, r, sp,\,q,\,r,\,s を正の実数とする。p:q=r:sp:q=r:s のとき、f(p)+f(s)=f(q)+f(r)f(p)+f(s)=f(q)+f(r) であることを示せ。

出典：信州大学 2024年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    −log⁡1−1aa=11−log⁡a(a−1)-\log_{1-\frac{1}{a}}a=\dfrac{1}{1-\log_{a}(a-1)}
  • (2)
    ps=qrps=qr から示せる（証明は解答を参照）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

b=1−1ab=1-\dfrac{1}{a} とおくと 0<b<10<b<1 で、x=abyx=ab^{y} を yy について解くと f(x)=log⁡bx−log⁡baf(x)=\log_{b}x-\log_{b}a と対数で表せる。あとは対数の性質（積の対数は対数の和）を使う。

解答

b=1−1ab=1-\dfrac{1}{a} とおくと 0<b<10<b<1 である。x=abyx=ab^{y} より by=xab^{y}=\dfrac{x}{a}、よって
f(x)=log⁡bxa=log⁡bx−log⁡ba. f(x)=\log_{b}\dfrac{x}{a}=\log_{b}x-\log_{b}a.

(1)

f(u)+f(v)−f(uv)=(log⁡bu+log⁡bv−log⁡buv)−log⁡ba=−log⁡ba. f(u)+f(v)-f(uv)=(\log_{b}u+\log_{b}v-\log_{b}uv)-\log_{b}a=-\log_{b}a.
log⁡ba=1log⁡ab=1log⁡a(a−1)−1\log_{b}a=\dfrac{1}{\log_{a}b}=\dfrac{1}{\log_{a}(a-1)-1} だから
f(u)+f(v)−f(uv)=−log⁡1−1aa=11−log⁡a(a−1). f(u)+f(v)-f(uv)=-\log_{1-\frac{1}{a}}a=\dfrac{1}{1-\log_{a}(a-1)}.

(2)

p:q=r:sp:q=r:s より ps=qrps=qr。よって
f(p)+f(s)=log⁡bps−2log⁡ba=log⁡bqr−2log⁡ba=f(q)+f(r). f(p)+f(s)=\log_{b}ps-2\log_{b}a=\log_{b}qr-2\log_{b}a=f(q)+f(r).

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 指数と対数の変換
  • 対数の性質
  • 底の変換公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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