3信州大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$$|\vec a|=2,\qquad |\vec b|=1,\qquad \vec a\cdot\vec b=1$$
である。

$$\text{(1)}$$
円 $C$ の中心を $M$ とする。直径の両端は
$$\overrightarrow{OQ}=2k\vec a+\vec b,\qquad \overrightarrow{OR}=-3\vec b$$
なので
$$\overrightarrow{OM} =\frac{\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}}2 =k\vec a-\vec b.$$
半径は直径の長さの半分であるから
$$r=\frac{|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OR}|}{2} =|k\vec a+2\vec b|.$$
したがって
$$\begin{aligned} r^2 &=k^2|\vec a|^2+4k(\vec a\cdot\vec b)+4|\vec b|^2\\ &=4k^2+4k+4, \end{aligned} \qquad \boxed{r=2\sqrt{k^2+k+1}}.$$

$$\text{(2)}$$
直線 $l$ 上の点 $P$ を
$$\overrightarrow{OP}=t\vec a-4\vec b\qquad(t\text{ は実数})$$
とおく。中心 $M$ との差は
$$\overrightarrow{MP}=(t-k)\vec a-3\vec b.$$
$x=t-k$ と置くと
$$\begin{aligned} |MP|^2 &=x^2|\vec a|^2-6x(\vec a\cdot\vec b)+9|\vec b|^2\\ &=4x^2-6x+9 =4\left(x-\frac34\right)^2+\frac{27}{4}. \end{aligned}$$$$|MP{|}^2=x^2|\vec{a}{|}^2-6x(\vec{a}\cdot \vec{b})+9|\vec{b}{|}^2$$$$=4x^2-6x+9=4{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{27}{4}.$$
$x$ は実数全体を動くので、中心 $M$ と直線 $l$ の距離の二乗は $27/4$ である。直線 $l$ と円 $C$ が共有点をもつ条件は、この距離が半径 $r$ 以下であることだから
$$\frac{27}{4}\leqq r^2=4(k^2+k+1).$$
よって
$$16k^2+16k-11\geqq0.$$
境界方程式の解は
$$k=\frac{-16\pm\sqrt{16^2-4\cdot16\cdot(-11)}}{32} =\frac{-2\pm\sqrt{15}}4.$$
二次式の係数は正であり、接するときも共有点をもつから、求める範囲は
$$\boxed{\displaystyle k\leqq\frac{-2-\sqrt{15}}4 \quad\text{または}\quad k\geqq\frac{-2+\sqrt{15}}4}.$$