6信州大学 2024年 数学 第6問解答・解説

(1)

$$F(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1-\dfrac{x^{2}}{2}$$
とおく。$F(-x)=F(x)$ だから、$x\geqq0$ の場合を示せばよい。
$$F'(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}-x,\qquad F''(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1=\dfrac{1}{2}\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^{2}\geqq0.$$
よって $x\geqq0$ で $F'$ は増加し、$F'(0)=0$ から $F'(x)\geqq0$ である。したがって $F$ も $x\geqq0$ で増加し、$F(0)=0$ より $F(x)\geqq0$。偶関数であることと合わせて、すべての実数 $x$ について
$$\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\geqq1+\dfrac{x^{2}}{2}$$
が成り立つ。

(2)

$t=\dfrac{\pi}{2}-u$ とおくと、$dt=-du$ であり、$t=0$、$\dfrac{\pi}{2}$ はそれぞれ $u=\dfrac{\pi}{2}$、$0$ に対応する。また $\cos2t=\cos(\pi-2u)=-\cos2u$ である。したがって
$$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{-\cos2t}\,dt =\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{-\cos(\pi-2u)}\,du =\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{\cos2u}\,du$$
となり、求める等式が成り立つ。

(3)

(1) で $x=\cos2t$ とすると
$$\dfrac{e^{\cos2t}+e^{-\cos2t}}{2}\geqq1+\dfrac{1}{2}\cos^{2}2t.$$
両辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分し、(2) の等式を用いると
$$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{\cos2t}\,dt\geqq\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^{2}2t\,dt.$$
ここで
$$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^{2}2t\,dt=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(1+\cos4t)\,dt=\dfrac{\pi}{4}$$
なので、
$$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{\cos2t}\,dt\geqq\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{5\pi}{8}.$$