5信州大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)
角度はラジアンで表す。直線 $l,m$ の正の部分はそれぞれ偏角 $\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{6}$ の半直線なので、$\angle POQ=\frac{\pi}{3}$ である。$PQ=2$ より三角形 $OPQ$ は退化せず、$t=\angle OPQ$ とすると
$$0<t<\frac{2\pi}{3},\qquad \angle OQP=\frac{2\pi}{3}-t.$$
正弦定理を用いると
$$OP=\frac{2\sin(\frac{2\pi}{3}-t)}{\sin(\frac{\pi}{3})} =\frac4{\sqrt3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right),\qquad OQ=\frac{2\sin t}{\sin(\frac{\pi}{3})}=\frac4{\sqrt3}\sin t.$$
それぞれの半直線の方向の単位ベクトルは $(\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$ と $(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ である。よって
$$\boxed{P=\left(2\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right),\frac2{\sqrt3}\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)\right)},$$
$$\boxed{Q=\left(2\sin t,-\frac2{\sqrt3}\sin t\right)} \qquad\left(0<t<\frac{2\pi}{3}\right).$$

(2)
中点 $M=(x,y)$ の座標は
$$x=\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)+\sin t, \qquad y=\frac1{\sqrt3}\left\{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-t\right)-\sin t\right\}.$$
$u=\frac{\pi}{3}-t$ とおき、和積の公式を使うと
$$x=\sqrt3\cos u,\qquad y=\frac1{\sqrt3}\sin u, \qquad -\frac{\pi}{3}<u<\frac{\pi}{3}.$$
従って
$$\frac{x^2}{3}+3y^2=\cos^2u+\sin^2u=1.$$
また $|u|<\frac{\pi}{3}$ より $\cos u>\frac12$ なので $x>\frac{\sqrt3}{2}$ である。逆にこの範囲の $u$ はすべて $t=\frac{\pi}{3}-u$（$0<t<\frac{2\pi}{3}$）に対応し、正弦定理で得る正の $OP,OQ$ は指定された半直線上にあり、$PQ=2$ を満たす。したがって軌跡は
$$\boxed{\frac{x^2}{3}+3y^2=1,\qquad x>\frac{\sqrt3}{2}}$$
で表される楕円の右側の弧である。端点 $\left(\frac{\sqrt3}{2},\pm\frac12\right)$ は $t=0,\frac{2\pi}{3}$ に対応し、そのとき $Q=O$ または $P=O$ となって条件 $x>0$ の半直線から外れるため、いずれも含まない。