4信州大学 2024年 数学 第4問解答・解説

箱A,B,Cに入れる赤球の個数をそれぞれ $x_A,x_B,x_C$ とする。箱は区別され、同じ色の球は区別しないので、赤球数が決まれば各箱に入れる白球数も決まる。

(1) 赤球8個をすべて使い、各箱に少なくとも1個ずつ入れる条件は
$$x_A+x_B+x_C=8,\qquad x_A,x_B,x_C\geqq 1.$$
各箱に赤球を1個ずつ先に入れ、残りについて $y_A=x_A-1,\ y_B=x_B-1,\ y_C=x_C-1$ とおくと、
$$y_A+y_B+y_C=5,\qquad y_A,y_B,y_C\geqq 0.$$
したがって、5個を区別のある3箱に分ける非負整数解の個数は
$${}_{5+3-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{7}\mathrm{C}_{2}=21.$$
このとき必要な白球は合計 $30-8=22$ 個で、白球は30個ある。各赤球数は8以下なので各箱の定員10個も満たし、すべての赤球配分が実現できる。答えは21通り。

(2) 赤球数を $x_A,x_B,x_C\geqq0$、合計を $r=x_A+x_B+x_C$ とする。赤球は8個しかないため $r\leqq8$ であり、各 $x_i\leqq8<10$。よって各箱に必要な白球数 $10-x_i$ は非負で、その合計は $30-r\leqq30$。すなわち、この条件を満たす赤球の配分はどれも、残りの定員を白球で埋められる。

箱に入れなかった赤球数を $x_D=8-r$ とすれば、入れ方と次の非負整数解は一対一に対応する。
$$x_A+x_B+x_C+x_D=8,\qquad x_A,x_B,x_C,x_D\geqq0.$$
したがって、その個数は
$${}_{8+4-1}\mathrm{C}_{4-1}={}_{11}\mathrm{C}_{3}=165.$$
答えは165通り。