4金沢医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

金沢医科大学 2022年度 一般選抜（前期）1日目 数学 4

交点と接線

2曲線の交点では $y=2x^2$ を $y^2=4t^3x$ に代入できるので
$$4x^4=4t^3x \text{、すなわち } x(x^3-t^3)=0.$$
原点以外では $x=t$、$y=2t^2$ だから $P=(t,2t^2)$。

①の導関数は $4x$ なので、Pにおける接線は
$$y-2t^2=4t(x-t) \quad\text{したがって}\quad \boxed{\ell:\ y=4tx-2t^2}.$$
②を陰関数微分すると $2yy'=4t^3$。Pでは $y=2t^2$ より接線の傾きは $t$、従って $m:y=tx+t^2$。

なす角と最大値

2直線の傾きが $4t,t$ なので、そのなす角 $0\leqq\theta\leqq\pi/2$ について
$$\tan\theta=\left|\frac{4t-t}{1+4t^2}\right| =\frac{3t}{1+4t^2}.$$
微分すると
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{1+4t^2}\right) =\frac{3(1-4t^2)}{(1+4t^2)^2}.$$
分母は正で、分子は $0<t<1/2$ で正、$t>1/2$ で負。よって最大は $t=1/2$ のときにとり、
$$\boxed{\max\tan\theta=\frac34}.$$

$t=1/2$ における面積

このとき①は $y=2x^2$、②は $y^2=x/2$。交点は $O$ と $P=(1/2,1/2)$ である。区間 $0\leqq x\leqq1/2$ では②の上側の枝 $y=\sqrt{x/2}$ が①より上にあるため
$$\begin{aligned} [D] &=\int_0^{1/2}\left(\sqrt{\frac x2}-2x^2\right)dx\\ &=\left[\frac{2}{3\sqrt2}x^{3/2}-\frac23x^3\right]_0^{1/2} =\boxed{\frac1{12}}. \end{aligned}$$$$[D]={\int }_0^{1/2}\left(\sqrt{\frac{x}{2}}-2x^2\right)dx$$$$={\left[\frac{2}{3\sqrt{2}}{x}^{3/2}-\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^{1/2}=\boxed{\frac{1}{12}}.$$

x軸まわりの回転体の体積

回転断面は外半径 $\sqrt{x/2}$、内半径 $2x^2$ の円環である。円環の面積を積分すると
$$\begin{aligned} V &=\pi\int_0^{1/2}\left(\left(\sqrt{\frac x2}\right)^2-(2x^2)^2\right)dx\\ &=\pi\left[\frac{x^2}{4}-\frac45x^5\right]_0^{1/2} =\boxed{\frac{3\pi}{80}}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{1/2}\left({\left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right)}^2-(2x^2{)}^2\right)dx$$$$=\pi {\left[\frac{x^2}{4}-\frac{4}{5}{x}^5\right]}_0^{1/2}=\boxed{\frac{3\pi }{80}}.$$

空欄は次のとおりである。
$$\begin{aligned} &\boxed{\text{ワ}=4},\quad \boxed{\text{ヲ}=2},\quad \boxed{\text{あ}=2},\quad \boxed{\text{い}=3},\quad \boxed{\text{う}=4},\\ &\boxed{\text{え}=1},\quad \boxed{\text{お}=2},\quad \boxed{\text{か}=3},\quad \boxed{\text{き}=4},\quad \boxed{\text{く}=1},\\ &\boxed{\text{けこ}=12},\quad \boxed{\text{さ}=3},\quad \boxed{\text{しす}=80}. \end{aligned}$$$$\boxed{\text{ワ}=4},\boxed{\text{ヲ}=2},\boxed{\text{あ}=2},\boxed{\text{い}=3},\boxed{\text{う}=4},$$$$\boxed{\text{え}=1},\boxed{\text{お}=2},\boxed{\text{か}=3},\boxed{\text{き}=4},\boxed{\text{く}=1},$$$$\boxed{\text{けこ}=12},\boxed{\text{さ}=3},\boxed{\text{しす}=80}.$$