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信州大学／2023年度

2信州大学 2023年 数学 第2問解答・解説

ベクトル

難易度必答 レベル 3/10 目安 15分編集部の評価

対象経法・医（保健学科）医学科は解かない

1問題

信州大学2023年度第2問
平面上の三角形 OAB\mathrm{OAB} は、OA=3\mathrm{OA}=3、OB=2\mathrm{OB}=2、∠AOB=60∘\angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} を満たすとする。この三角形の内部に点 H\mathrm{H} をとり、OH→=pa⃗+qb⃗\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p\vec{a}+q\vec{b} とおくとき、次の問いに答えよ。ただし、p, qp,\,q は実数で、OA→=a⃗\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}、OB→=b⃗\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b} とする。

(1) OH→⊥AB→\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}} のとき、pp と qq の間に成り立つ関係式を求めよ。

(2) H\mathrm{H} が三角形 OAB\mathrm{OAB} の垂心であるとき、pp と qq の値を求めよ。

出典：信州大学 2023年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    q=6pq=6p
  • (2)
    p=19, q=23p=\dfrac{1}{9},\ q=\dfrac{2}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

∣a⃗∣=3|\vec{a}|=3、∣b⃗∣=2|\vec{b}|=2、a⃗⋅b⃗=3\vec{a}\cdot\vec{b}=3 を使い、垂直の条件を内積 00 で表す。垂心は、OH⊥AB\mathrm{OH}\perp\mathrm{AB} と AH⊥OB\mathrm{AH}\perp\mathrm{OB} の 2 つの条件で決まる。

解答

∣a⃗∣2=9|\vec{a}|^{2}=9、∣b⃗∣2=4|\vec{b}|^{2}=4、a⃗⋅b⃗=3⋅2cos⁡60∘=3\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot2\cos60^{\circ}=3 である。

(1)

OH→⋅AB→=(pa⃗+qb⃗)⋅(b⃗−a⃗)=3p−9p+4q−3q=−6p+q. \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(p\vec{a}+q\vec{b})\cdot(\vec{b}-\vec{a})=3p-9p+4q-3q=-6p+q.
これが 00 だから q=6pq=6p。

(2)

垂心では OH→⊥AB→\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}} と AH→⊥OB→\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{OB}} が成り立つ。
AH→⋅b⃗={(p−1)a⃗+qb⃗}⋅b⃗=3(p−1)+4q=0. \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\vec{b}=\{(p-1)\vec{a}+q\vec{b}\}\cdot\vec{b}=3(p-1)+4q=0.
(1) の q=6pq=6p を代入して 27p=327p=3、よって p=19p=\dfrac{1}{9}、q=23q=\dfrac{2}{3}。

（p>0, q>0, p+q=79<1p>0,\ q>0,\ p+q=\dfrac{7}{9}<1 で、H\mathrm{H} は三角形の内部にある。）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内積の計算
  • 垂直条件と内積
  • 垂心の位置ベクトル

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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