7長崎大学 2026年 数学 第7問解答・解説

$xyz$ 座標空間内に、点 $\mathrm{D}(0,\,0,\,1)$ を中心とし、3 点 $\mathrm{A}(2,\,1,\,3)$、$\mathrm{B}(2,\,2,\,a)$、$\mathrm{C}(1,\,2,\,b)$ を通る球 $S$ と、3 点 $\mathrm{A},\,\mathrm{B},\,\mathrm{C}$ を通る平面 $T$ がある。ただし、$a>0,\ b>0$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $a,\,b$ の値を求めよ。

(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AC}},\,\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ をそれぞれ成分で表せ。また、平面 $T$ 上の点 $\mathrm{H}$ を、実数 $s,\,t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と表すとき、$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ を $s,\,t$ を用いて成分で表せ。

(3) (2) の点 $\mathrm{H}$ が、点 $\mathrm{D}$ から平面 $T$ に垂線を下したときの交点とする。このとき、$\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ および $\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が成り立つことを利用して、$s,\,t$ の値を求め、$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$ を成分で表せ。

(4) 球 $S$ は平面 $T$ によって 2 つの立体に分けられる。大きい方の立体の体積 $V_{1}$ と小さい方の立体の体積 $V_{2}$ の値をそれぞれ求めよ。