1信州大学 2023年 数学 第1問解答・解説

どちらも $k$ を分離して「$k=$（$x$ の関数）」の形にし、右辺のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数を考える。(2) は絶対値を $x\geqq1$ と $x<1$ で外して増減を調べる。

(1)

$F(x)=x^{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+6x$ とおくと、共有点の個数は $y=F(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数に等しい。
$$F'(x)=3x^{2}-9x+6=3(x-1)(x-2)$$
より、$F(x)$ は $x=1$ で極大値 $F(1)=\dfrac{5}{2}$、$x=2$ で極小値 $F(2)=2$ をとる。よって求める範囲は $2<k<\dfrac{5}{2}$。

(2)

$f(x)=g(x)$ は
$$k=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4x-4|x-1|$$
と変形できる。右辺を $h(x)$ とおく。

・$x\geqq1$ のとき $h(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+4$、$h'(x)=x(x-5)$。$1\leqq x\leqq5$ で減少、$x\geqq5$ で増加し、$h(1)=\dfrac{11}{6}$、$h(5)=-\dfrac{101}{6}$。

・$x<1$ のとき $h(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+8x-4$、$h'(x)=x^{2}-5x+8=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+\dfrac{7}{4}>0$ で増加し、$x\to1-0$ で $\dfrac{11}{6}$ に近づく。

$h(x)$ は連続で、$x\to-\infty$ で $-\infty$、$x\to\infty$ で $\infty$ に発散する。よって $y=h(x)$ は $x\leqq1$ で増加して $\dfrac{11}{6}$ に達し、$1\leqq x\leqq5$ で $-\dfrac{101}{6}$ まで減少し、その後増加する。直線 $y=k$ と 3 つの共有点をもつのは
$$-\dfrac{101}{6}<k<\dfrac{11}{6}.$$